MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomtr 8647
Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑋* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 8638 . . . . 5 Rel ≼*
21brrelex2i 5316 . . . 4 (𝑌* 𝑍𝑍 ∈ V)
32adantl 473 . . 3 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4 0wdom 8642 . . . 4 (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5 breq1 4807 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝑋* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
64, 5syl5ibrcom 237 . . 3 (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋* 𝑍))
73, 6syl 17 . 2 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋* 𝑍))
8 simpll 807 . . . . 5 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋* 𝑌)
9 brwdomn0 8641 . . . . . 6 (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋))
109adantl 473 . . . . 5 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋))
118, 10mpbid 222 . . . 4 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋)
12 simpllr 817 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑌* 𝑍)
13 simplr 809 . . . . . . . 8 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14 dm0rn0 5497 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
1514necon3bii 2984 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17 fof 6277 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧:𝑌onto𝑋𝑧:𝑌𝑋)
18 fdm 6212 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧:𝑌𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝑌onto𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
2019neeq1d 2991 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
21 forn 6280 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝑌onto𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
2221neeq1d 2991 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2316, 20, 223bitr3rd 299 . . . . . . . . 9 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
2423adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
2513, 24mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
26 brwdomn0 8641 . . . . . . 7 (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑌* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌))
2812, 27mpbid 222 . . . . 5 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌)
29 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
30 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3129, 30coex 7284 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑦) ∈ V
32 foco 6287 . . . . . . . . 9 ((𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌) → (𝑧𝑦):𝑍onto𝑋)
33 fowdom 8643 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝑦) ∈ V ∧ (𝑧𝑦):𝑍onto𝑋) → 𝑋* 𝑍)
3431, 32, 33sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌) → 𝑋* 𝑍)
3534adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌)) → 𝑋* 𝑍)
3635expr 644 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑦:𝑍onto𝑌𝑋* 𝑍))
3736exlimdv 2010 . . . . 5 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌𝑋* 𝑍))
3828, 37mpd 15 . . . 4 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑋* 𝑍)
3911, 38exlimddv 2012 . . 3 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋* 𝑍)
4039ex 449 . 2 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋* 𝑍))
417, 40pm2.61dne 3018 1 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑋* 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  c0 4058   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267  ccom 5270  wf 6045  ontowfo 6047  * cwdom 8629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fo 6055  df-wdom 8631
This theorem is referenced by:  wdomen1  8648  wdomen2  8649  wdom2d  8652  wdomima2g  8658  unxpwdom2  8660  unxpwdom  8661  harwdom  8662  pwcdadom  9250  hsmexlem1  9460  hsmexlem4  9463
  Copyright terms: Public domain W3C validator