MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomima2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomima2g 8656
Description: A set is weakly dominant over its image under any function. This version of wdomimag 8657 is stated so as to avoid ax-rep 4923. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomima2g ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)

Proof of Theorem wdomima2g
StepHypRef Expression
1 df-ima 5279 . 2 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 funres 6090 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
3 funforn 6283 . . . . . . . 8 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
42, 3sylib 208 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
543ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
6 fof 6276 . . . . . 6 ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴))
8 dmres 5577 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
9 inss1 3976 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
108, 9eqsstri 3776 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
11 simp2 1132 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → 𝐴𝑉)
12 ssexg 4956 . . . . . 6 ((dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴𝐴𝑉) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 698 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
14 simp3 1133 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑊)
151, 14syl5eqelr 2844 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ∈ 𝑊)
16 fex2 7286 . . . . 5 (((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ∈ V ∧ ran (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ V)
177, 13, 15, 16syl3anc 1477 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ V)
18 fowdom 8641 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴)) → ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴))
1917, 5, 18syl2anc 696 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴))
20 ssdomg 8167 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
2110, 20mpi 20 . . . . 5 (𝐴𝑉 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
22 domwdom 8644 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
24233ad2ant2 1129 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
25 wdomtr 8645 . . 3 ((ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴) → ran (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
2619, 24, 25syl2anc 696 . 2 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
271, 26syl5eqbr 4839 1 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072  wcel 2139  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  ontowfo 6047  cdom 8119  * cwdom 8627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-wdom 8629
This theorem is referenced by:  wdomimag  8657  unxpwdom2  8658
  Copyright terms: Public domain W3C validator