Theorem wdomen1 8642

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼* 𝐶 ↔ 𝐵 ≼* 𝐶))

Proof of Theorem wdomen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8166	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endom 8144	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		domwdom 8640	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
5		wdomtr 8641	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐶) → 𝐵 ≼* 𝐶)
6	4, 5	sylan 489	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼* 𝐶) → 𝐵 ≼* 𝐶)
7		endom 8144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
8		domwdom 8640	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10		wdomtr 8641	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐶) → 𝐴 ≼* 𝐶)
11	9, 10	sylan 489	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐶) → 𝐴 ≼* 𝐶)
12	6, 11	impbida 913	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼* 𝐶 ↔ 𝐵 ≼* 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   class class class wbr 4800   ≈ cen 8114   ≼ cdom 8115   ≼^* cwdom 8623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-wdom 8625

This theorem is referenced by: (None)