Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem5 40706
Description: The sequence 𝐻 converges to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem5.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem5.2 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem5.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem5.4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
wallispilem5.5 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
wallispilem5 𝐻 ⇝ 1
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥   𝑥,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem5
StepHypRef Expression
1 wallispilem5.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2 wallispilem5.2 . . 3 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3 wallispilem5.3 . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
4 wallispilem5.4 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
51, 2, 3, 4wallispilem4 40705 . 2 𝐺 = 𝐻
6 nnuz 11837 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 11521 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
8 wallispilem5.5 . . . . 5 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)))
9 2cnd 11206 . . . . 5 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
10 2ne0 11226 . . . . . 6 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2 ≠ 0)
12 1cnd 10169 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
138, 9, 11, 12clim1fr1 40253 . . . 4 (⊤ → 𝐿 ⇝ 1)
14 nnex 11139 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1514mptex 6602 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ V
163, 15eqeltri 2799 . . . . 5 𝐺 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
18 2nn0 11422 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
20 nnnn0 11412 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2119, 20nn0mulcld 11469 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
22 1nn0 11421 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
2421, 23nn0addcld 11468 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
2524nn0red 11465 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
2621nn0red 11465 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
27 2cnd 11206 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
28 nncn 11141 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2910a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
30 nnne0 11166 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3127, 28, 29, 30mulne0d 10792 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
3225, 26, 31redivcld 10966 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
338, 32fmpti 6498 . . . . . 6 𝐿:ℕ⟶ℝ
3433a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐿:ℕ⟶ℝ)
3534ffvelrnda 6474 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐿𝑘) ∈ ℝ)
362wallispilem3 40704 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
3837rpred 11986 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
392wallispilem3 40704 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4024, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
4138, 40rerpdivcld 12017 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℝ)
423, 41fmpti 6498 . . . . . 6 𝐺:ℕ⟶ℝ
4342a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
4443ffvelrnda 6474 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
46 nnnn0 11412 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4745, 46nn0mulcld 11469 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
482wallispilem3 40704 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ+)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ+)
5049rpred 11986 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ∈ ℝ)
51 2nn 11298 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
53 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
5452, 53nnmulcld 11181 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
55 nnm1nn0 11447 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
572wallispilem3 40704 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ+)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ+)
5958rpred 11986 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
6022a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
6147, 60nn0addcld 11468 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
622wallispilem3 40704 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
64 2cnd 11206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
65 nncn 11141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
6664, 65mulcld 10173 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
67 1cnd 10169 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6866, 67npcand 10509 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
6968fveq2d 6308 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
702, 56wallispilem1 40702 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) − 1) + 1)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
7169, 70eqbrtrrd 4784 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑘)) ≤ (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
7250, 59, 63, 71lediv1dd 12044 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
7366, 67addcld 10172 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
7410a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
75 nnne0 11166 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
7664, 65, 74, 75mulne0d 10792 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ≠ 0)
7773, 66, 76divcld 10914 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
7863rpcnd 11988 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
7963rpne0d 11991 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≠ 0)
8077, 78, 79divcan4d 10920 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
81 2re 11203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
83 nnre 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
8482, 83remulcld 10183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
85 1red 10168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 10182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
8745nn0ge0d 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
88 nnge1 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
8982, 83, 87, 88lemulge11d 11074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑘))
9084ltp1d 11067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) < ((2 · 𝑘) + 1))
9182, 84, 86, 89, 90lelttrd 10308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 < ((2 · 𝑘) + 1))
9282, 86, 91ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
9345nn0zd 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
9461nn0zd 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
95 eluz 11814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
9693, 94, 95syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 1)))
9792, 96mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ (ℤ‘2))
982, 97itgsinexp 40590 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))))
9966, 67pncand 10506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
10099oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
101 1e2m1 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (2 − 1)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
103102oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑘) − (2 − 1)))
10466, 64, 67subsub3d 10535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − (2 − 1)) = (((2 · 𝑘) + 1) − 2))
105103, 104eqtr2d 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) − 2) = ((2 · 𝑘) − 1))
106105fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
107100, 106oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) − 1) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘(((2 · 𝑘) + 1) − 2))) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
10898, 107eqtrd 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
109108oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
11054peano2nnd 11150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
111110nnne0d 11178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) + 1) ≠ 0)
11266, 73, 111divcld 10914 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
11358rpcnd 11988 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
11477, 112, 113mulassd 10176 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))))
11573, 66, 111, 76divcan6d 10933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
116115oveq1d 6780 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))))
117113mulid2d 10171 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
118116, 117eqtrd 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) · (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
119109, 114, 1183eqtr2d 2764 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = (𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)))
120119oveq1d 6780 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) · (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
12180, 120eqtr3d 2760 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)) = ((𝐼‘((2 · 𝑘) − 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
12272, 121breqtrrd 4788 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
12349, 63rpdivcld 12003 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ+)
124 nfcv 2866 . . . . . . . 8 𝑛𝑘
125 nfmpt1 4855 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
1262, 125nfcxfr 2864 . . . . . . . . . 10 𝑛𝐼
127 nfcv 2866 . . . . . . . . . 10 𝑛(2 · 𝑘)
128126, 127nffv 6311 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐼‘(2 · 𝑘))
129 nfcv 2866 . . . . . . . . 9 𝑛 /
130 nfcv 2866 . . . . . . . . . 10 𝑛((2 · 𝑘) + 1)
131126, 130nffv 6311 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))
132128, 129, 131nfov 6791 . . . . . . . 8 𝑛((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
133 oveq2 6773 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
134133fveq2d 6308 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘(2 · 𝑛)) = (𝐼‘(2 · 𝑘)))
135133oveq1d 6780 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
136135fveq2d 6308 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)))
137134, 136oveq12d 6783 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
138124, 132, 137, 3fvmptf 6415 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ∈ ℝ+) → (𝐺𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
139123, 138mpdan 705 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
1408a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛))))
141 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
142141oveq2d 6781 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
143142oveq1d 6780 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
144143, 142oveq12d 6783 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · 𝑛)) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
145140, 144, 53, 77fvmptd 6402 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐿𝑘) = (((2 · 𝑘) + 1) / (2 · 𝑘)))
146122, 139, 1453brtr4d 4792 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
147146adantl 473 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐿𝑘))
14878, 79dividd 10912 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) = 1)
14963rpred 11986 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
1502, 47wallispilem1 40702 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (𝐼‘(2 · 𝑘)))
151149, 50, 63, 150lediv1dd 12044 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼‘((2 · 𝑘) + 1)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))) ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
152148, 151eqbrtrrd 4784 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝐼‘(2 · 𝑘)) / (𝐼‘((2 · 𝑘) + 1))))
153152, 139breqtrrd 4788 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐺𝑘))
154153adantl 473 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐺𝑘))
1556, 7, 13, 17, 35, 44, 147, 154climsqz2 14492 . . 3 (⊤ → 𝐺 ⇝ 1)
156155trud 1606 . 2 𝐺 ⇝ 1
1575, 156eqbrtrri 4783 1 𝐻 ⇝ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wtru 1597  wcel 2103  wne 2896  Vcvv 3304   class class class wbr 4760  cmpt 4837  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  +crp 11946  (,)cioo 12289  seqcseq 12916  cexp 12975  cli 14335  sincsin 14914  πcpi 14917  citg 23507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-ovol 23354  df-vol 23355  df-mbf 23508  df-itg1 23509  df-itg2 23510  df-ibl 23511  df-itg 23512  df-0p 23557  df-limc 23750  df-dv 23751
This theorem is referenced by:  wallispi  40707
  Copyright terms: Public domain W3C validator