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Theorem wallispilem4 40603
Description: 𝐹 maps to explicit expression for the ratio of two consecutive values of 𝐼. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem4.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem4.2 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑧)↑𝑛) d𝑧)
wallispilem4.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem4.4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
Assertion
Ref Expression
wallispilem4 𝐺 = 𝐻
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛   𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐼(𝑧,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem4
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
21fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝐼‘(2 · 𝑥)) = (𝐼‘(2 · 1)))
31oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · 1) + 1))
43fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1)) = (𝐼‘((2 · 1) + 1)))
52, 4oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 1)) / (𝐼‘((2 · 1) + 1))))
6 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
76oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))
87oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1))))
95, 8eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 1 → (((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ ((𝐼‘(2 · 1)) / (𝐼‘((2 · 1) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))))
10 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
1110fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(2 · 𝑥)) = (𝐼‘(2 · 𝑦)))
1210oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
1312fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))
1411, 13oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))))
15 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))
1615oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))
1716oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))))
1814, 17eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
19 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
2019fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(2 · 𝑥)) = (𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))))
2119oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))
2221fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1)) = (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))
2320, 22oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))
24 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))
2524oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1))))
2625oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))))
2723, 26eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1))))))
28 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛))
2928fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝐼‘(2 · 𝑥)) = (𝐼‘(2 · 𝑛)))
3028oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
3130fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))
3229, 31oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
33 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
3433oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))
3534oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
3632, 35eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
37 2t1e2 11214 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
3837fveq2i 6232 . . . . . 6 (𝐼‘(2 · 1)) = (𝐼‘2)
3937oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
40 2p1e3 11189 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
4139, 40eqtri 2673 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 1) = 3
4241fveq2i 6232 . . . . . 6 (𝐼‘((2 · 1) + 1)) = (𝐼‘3)
4338, 42oveq12i 6702 . . . . 5 ((𝐼‘(2 · 1)) / (𝐼‘((2 · 1) + 1))) = ((𝐼‘2) / (𝐼‘3))
44 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
45 uzid 11740 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 ∈ (ℤ‘2)
47 wallispilem4.2 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑧)↑𝑛) d𝑧)
4847wallispilem2 40601 . . . . . . . . 9 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (2 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼‘2) = (((2 − 1) / 2) · (𝐼‘(2 − 2)))))
4948simp3i 1092 . . . . . . . 8 (2 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼‘2) = (((2 − 1) / 2) · (𝐼‘(2 − 2))))
5046, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐼‘2) = (((2 − 1) / 2) · (𝐼‘(2 − 2)))
51 2m1e1 11173 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
5251oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 2) = (1 / 2)
53 2cn 11129 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
5453subidi 10390 . . . . . . . . . 10 (2 − 2) = 0
5554fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (𝐼‘(2 − 2)) = (𝐼‘0)
5648simp1i 1090 . . . . . . . . 9 (𝐼‘0) = π
5755, 56eqtri 2673 . . . . . . . 8 (𝐼‘(2 − 2)) = π
5852, 57oveq12i 6702 . . . . . . 7 (((2 − 1) / 2) · (𝐼‘(2 − 2))) = ((1 / 2) · π)
59 ax-1cn 10032 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
60 2cnne0 11280 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61 picn 24256 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
62 div32 10743 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ π ∈ ℂ) → ((1 / 2) · π) = (1 · (π / 2)))
6359, 60, 61, 62mp3an 1464 . . . . . . . 8 ((1 / 2) · π) = (1 · (π / 2))
64 2ne0 11151 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
6561, 53, 64divcli 10805 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℂ
6665mulid2i 10081 . . . . . . . 8 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
6763, 66eqtri 2673 . . . . . . 7 ((1 / 2) · π) = (π / 2)
6850, 58, 673eqtri 2677 . . . . . 6 (𝐼‘2) = (π / 2)
69 3z 11448 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
70 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
71 3re 11132 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
72 2lt3 11233 . . . . . . . . . 10 2 < 3
7370, 71, 72ltleii 10198 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
74 eluz2 11731 . . . . . . . . 9 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
7544, 69, 73, 74mpbir3an 1263 . . . . . . . 8 3 ∈ (ℤ‘2)
7647wallispilem2 40601 . . . . . . . . 9 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (3 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼‘3) = (((3 − 1) / 3) · (𝐼‘(3 − 2)))))
7776simp3i 1092 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼‘3) = (((3 − 1) / 3) · (𝐼‘(3 − 2))))
7875, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐼‘3) = (((3 − 1) / 3) · (𝐼‘(3 − 2)))
79 3m1e2 11175 . . . . . . . . . 10 (3 − 1) = 2
8079eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 2 = (3 − 1)
8180oveq1i 6700 . . . . . . . 8 (2 / 3) = ((3 − 1) / 3)
82 3cn 11133 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
8382, 53, 59, 40subaddrii 10408 . . . . . . . . . 10 (3 − 2) = 1
8483fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (𝐼‘(3 − 2)) = (𝐼‘1)
8548simp2i 1091 . . . . . . . . 9 (𝐼‘1) = 2
8684, 85eqtr2i 2674 . . . . . . . 8 2 = (𝐼‘(3 − 2))
8781, 86oveq12i 6702 . . . . . . 7 ((2 / 3) · 2) = (((3 − 1) / 3) · (𝐼‘(3 − 2)))
88 3ne0 11153 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
8953, 82, 88divcli 10805 . . . . . . . 8 (2 / 3) ∈ ℂ
9089, 53mulcomi 10084 . . . . . . 7 ((2 / 3) · 2) = (2 · (2 / 3))
9178, 87, 903eqtr2i 2679 . . . . . 6 (𝐼‘3) = (2 · (2 / 3))
9268, 91oveq12i 6702 . . . . 5 ((𝐼‘2) / (𝐼‘3)) = ((π / 2) / (2 · (2 / 3)))
93 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
94 seq1 12854 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . 8 (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
96 1nn 11069 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
97 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
9897, 37syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (2 · 𝑘) = 2)
9997oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 1) − 1))
10037oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
101100, 51eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) − 1) = 1
10299, 101syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) − 1) = 1)
10398, 102oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = (2 / 1))
10453div1i 10791 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
105103, 104syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = 2)
10698oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) + 1) = (2 + 1))
107106, 40syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) + 1) = 3)
10898, 107oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (2 / 3))
109105, 108oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · (2 / 3)))
110 wallispilem4.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
111 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (2 · (2 / 3)) ∈ V
112109, 110, 111fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = (2 · (2 / 3)))
11396, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘1) = (2 · (2 / 3))
11495, 113eqtr2i 2674 . . . . . . 7 (2 · (2 / 3)) = (seq1( · , 𝐹)‘1)
115114oveq2i 6701 . . . . . 6 ((π / 2) / (2 · (2 / 3))) = ((π / 2) / (seq1( · , 𝐹)‘1))
11653, 89mulcli 10083 . . . . . . . . 9 (2 · (2 / 3)) ∈ ℂ
117113, 116eqeltri 2726 . . . . . . . 8 (𝐹‘1) ∈ ℂ
11895, 117eqeltri 2726 . . . . . . 7 (seq1( · , 𝐹)‘1) ∈ ℂ
11953, 82, 64, 88divne0i 10811 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ≠ 0
12053, 89, 64, 119mulne0i 10708 . . . . . . . 8 (2 · (2 / 3)) ≠ 0
121114, 120eqnetrri 2894 . . . . . . 7 (seq1( · , 𝐹)‘1) ≠ 0
12265, 118, 121divreci 10808 . . . . . 6 ((π / 2) / (seq1( · , 𝐹)‘1)) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))
123115, 122eqtri 2673 . . . . 5 ((π / 2) / (2 · (2 / 3))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))
12443, 92, 1233eqtri 2677 . . . 4 ((𝐼‘(2 · 1)) / (𝐼‘((2 · 1) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))
125 oveq2 6698 . . . . . . 7 (((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
126125adantl 481 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))) → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
127 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
128 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
12959a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
130127, 128, 129adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
131127mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
132131oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
133130, 132eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
134133oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑦) + 2) − 1))
135127, 128mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
136135, 127, 129addsubassd 10450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 2) − 1) = ((2 · 𝑦) + (2 − 1)))
13751a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) = 1)
138137oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑦) + 1))
139134, 136, 1383eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
140139oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) = (((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))))
141140oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) = ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))))
14279a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (3 − 1) = 2)
143142oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (3 − 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
14482a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
145135, 144, 129addsubassd 10450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 1) = ((2 · 𝑦) + (3 − 1)))
146143, 145, 1333eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
147146oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))
148147oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))))
149141, 148oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
15044a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
151 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
152151peano2zd 11523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
153150, 152zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)
15470a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
155 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
156 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
157155, 156readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
158 0le2 11149 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 2
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
160 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
161160nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑦)
162156, 155addge02d 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (0 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
163161, 162mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑦 + 1))
164154, 157, 159, 163lemulge11d 10999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · (𝑦 + 1)))
16544eluz1i 11733 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · (𝑦 + 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · (𝑦 + 1))))
166153, 164, 165sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ (ℤ‘2))
16747, 166itgsinexp 40488 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) = ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) − 2))))
168133oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 2) = (((2 · 𝑦) + 2) − 2))
169135, 127pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 2) − 2) = (2 · 𝑦))
170168, 169eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 2) = (2 · 𝑦))
171170fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) − 2)) = (𝐼‘(2 · 𝑦)))
172171oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) − 2))) = ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))))
173167, 172eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) = ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))))
174133oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑦) + 2) + 1))
175135, 127, 129addassd 10100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 2) + 1) = ((2 · 𝑦) + (2 + 1)))
17640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 + 1) = 3)
177176oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (2 + 1)) = ((2 · 𝑦) + 3))
178174, 175, 1773eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑦) + 3))
179178fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑦) + 3)))
180150, 151zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
18169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
182180, 181zaddcld 11524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℤ)
183154, 155remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
18471a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
185183, 184readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℝ)
186 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
187154, 155, 159, 186lemulge11d 10999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑦))
188 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
189 3pos 11152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
190188, 71, 189ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 3
191183, 184addge01d 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (0 ≤ 3 ↔ (2 · 𝑦) ≤ ((2 · 𝑦) + 3)))
192190, 191mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ≤ ((2 · 𝑦) + 3))
193154, 183, 185, 187, 192letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑦) + 3))
19444eluz1i 11733 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑦) + 3) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑦) + 3)))
195182, 193, 194sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ (ℤ‘2))
19647, 195itgsinexp 40488 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑦) + 3)) = (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))))
197179, 196eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1)) = (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))))
198173, 197oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
199135, 129addcld 10097 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℂ)
200128, 129addcld 10097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
201127, 200mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
20264a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
203 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
204203nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ≠ 0)
205127, 200, 202, 204mulne0d 10717 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 0)
206199, 201, 205divcld 10839 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) ∈ ℂ)
207 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
208207a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
209208, 160nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
21047wallispilem3 40602 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑦)) ∈ ℝ+)
211210rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
212209, 211syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
213135, 144addcld 10097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℂ)
214 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
215 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 2)
217 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
218154, 155, 216, 217mulgt0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑦))
219184, 189jctir 560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
220 elrp 11872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ ℝ+ ↔ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
221219, 220sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
222183, 221ltaddrpd 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) < ((2 · 𝑦) + 3))
223214, 183, 185, 218, 222lttrd 10236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑦) + 3))
224223gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ≠ 0)
225201, 213, 224divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℂ)
226201, 213, 205, 224divne0d 10855 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ≠ 0)
227182, 150zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℤ)
228185, 154subge0d 10655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (0 ≤ (((2 · 𝑦) + 3) − 2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑦) + 3)))
229193, 228mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ (((2 · 𝑦) + 3) − 2))
230 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℕ0 ↔ ((((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((2 · 𝑦) + 3) − 2)))
231227, 229, 230sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℕ0)
23247wallispilem3 40602 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℝ+)
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℝ+)
234233rpcnne0d 11919 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℂ ∧ (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ≠ 0))
235225, 226, 234jca31 556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℂ ∧ ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ≠ 0) ∧ ((𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℂ ∧ (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ≠ 0)))
236 divmuldiv 10763 . . . . . . . . . 10 ((((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐼‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ) ∧ ((((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℂ ∧ ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ≠ 0) ∧ ((𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℂ ∧ (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ≠ 0))) → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
237206, 212, 235, 236syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
238149, 198, 2373eqtr4d 2695 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
239135, 144, 127addsubassd 10450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 2) = ((2 · 𝑦) + (3 − 2)))
24083a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (3 − 2) = 1)
241240oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (3 − 2)) = ((2 · 𝑦) + 1))
242239, 241eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 2) = ((2 · 𝑦) + 1))
243242fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))
244243oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))) = ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))))
245244oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))))
246238, 245eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))))
247246adantr 480 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))) → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))))
248 elnnuz 11762 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
249248biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘1))
250 seqp1 12856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (𝐹‘(𝑦 + 1))))
251249, 250syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (𝐹‘(𝑦 + 1))))
252110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))
253 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑦 + 1)))
254253oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))
255253, 254oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))
256253oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))
257253, 256oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))
258255, 257oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))
259258adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑦 + 1)) → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))
260154, 157remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℝ)
261260, 156resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
262 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
263262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
264 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
265156, 264ltaddrp2d 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (𝑦 + 1))
266154, 157, 263, 265mulgt1d 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · (𝑦 + 1)))
267156, 266gtned 10210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 1)
268201, 129, 267subne0d 10439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ≠ 0)
269260, 261, 268redivcld 10891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
270178, 185eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) + 1) ∈ ℝ)
271178, 224eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) + 1) ≠ 0)
272260, 270, 271redivcld 10891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
273269, 272remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) ∈ ℝ)
274252, 259, 203, 273fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))
275274oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (𝐹‘(𝑦 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))
276251, 275eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))
277276oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1))) = (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))))
278277oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))) = ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))))
279139oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)))
280178oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))
281279, 280oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))
282281oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
283282oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))) = (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
284283oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))) = ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))))
285 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (1...𝑦) → 𝑤 ∈ ℕ)
286285adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
287110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))
288 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑤 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑤))
289288oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑤 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑤) − 1))
290288, 289oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑤 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)))
291288oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑤 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑤) + 1))
292288, 291oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑤 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1)))
293290, 292oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑤 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) · ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1))))
294293adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 𝑤) → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) · ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1))))
295 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℕ)
296 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ+
297296a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
298 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℝ+)
299297, 298rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℕ → (2 · 𝑤) ∈ ℝ+)
30070a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
301 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℝ)
302300, 301remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℕ → (2 · 𝑤) ∈ ℝ)
303 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
304302, 303resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) − 1) ∈ ℝ)
305 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑤)
306 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
307306mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ ℕ → (1 · 𝑤) = 𝑤)
308303, 300, 298ltmul1d 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 ∈ ℕ → (1 < 2 ↔ (1 · 𝑤) < (2 · 𝑤)))
309262, 308mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ ℕ → (1 · 𝑤) < (2 · 𝑤))
310307, 309eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 < (2 · 𝑤))
311303, 301, 302, 305, 310lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑤))
312303, 302posdifd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℕ → (1 < (2 · 𝑤) ↔ 0 < ((2 · 𝑤) − 1)))
313311, 312mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑤) − 1))
314304, 313elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) − 1) ∈ ℝ+)
315299, 314rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) ∈ ℝ+)
316158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
317298rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑤)
318300, 301, 316, 317mulge0d 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑤))
319302, 318ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) + 1) ∈ ℝ+)
320299, 319rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1)) ∈ ℝ+)
321315, 320rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℕ → (((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) · ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1))) ∈ ℝ+)
322287, 294, 295, 321fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℕ → (𝐹𝑤) = (((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) · ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1))))
323322, 321eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℕ → (𝐹𝑤) ∈ ℝ+)
324286, 323syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑦)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ+)
325 rpmulcl 11893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 · 𝑧) ∈ ℝ+)
326325adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑤 · 𝑧) ∈ ℝ+)
327249, 324, 326seqcl 12861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ+)
328327rpcnne0d 11919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ≠ 0))
329296a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
330155, 161ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ+)
331329, 330rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℝ+)
332154, 155, 159, 161mulge0d 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑦))
333183, 332ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℝ+)
334331, 333rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) ∈ ℝ+)
335329, 264rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
336335, 221rpaddcld 11925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℝ+)
337331, 336rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℝ+)
338334, 337rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℝ+)
339338rpcnne0d 11919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℂ ∧ (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ≠ 0))
340 divdiv1 10774 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ≠ 0) ∧ ((((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℂ ∧ (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ≠ 0)) → ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
341129, 328, 339, 340syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
342341eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))) = ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
343342oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))) = ((π / 2) · ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
34465a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
345327rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
346327rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ≠ 0)
347345, 346reccld 10832 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) ∈ ℂ)
348338rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℂ)
349338rpne0d 11915 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ≠ 0)
350344, 347, 348, 349divassd 10874 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = ((π / 2) · ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
351139, 268eqnetrrd 2891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ≠ 0)
352201, 199, 201, 213, 351, 224divmuldivd 10880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) = (((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) / (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3))))
353352oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) / (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)))))
354344, 347mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) ∈ ℂ)
355201, 201mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) ∈ ℂ)
356199, 213mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℂ)
357201, 201, 205, 205mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) ≠ 0)
358199, 213, 351, 224mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) ≠ 0)
359354, 355, 356, 357, 358divdiv2d 10871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) / (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)))) = ((((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3))) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))))
360354, 356, 355, 357divassd 10874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3))) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))))
361359, 360eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) / (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))))
362199, 201, 201, 213, 205, 224, 205divdivdivd 10886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) = ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))))
363362eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))) = ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))
364363oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
365353, 361, 3643eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
366343, 350, 3653eqtr2d 2691 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
36761a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
368367halfcld 11315 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
369368, 347mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) ∈ ℂ)
370206, 225, 226divcld 10839 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℂ)
371369, 370mulcomd 10099 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
372284, 366, 3713eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
373278, 372eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
374373adantr 480 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
375126, 247, 3743eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))) → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))))
376375ex 449 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1))))))
3779, 18, 27, 36, 124, 376nnind 11076 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
378377mpteq2ia 4773 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
379 wallispilem4.3 . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
380 wallispilem4.4 . 2 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
381378, 379, 3803eqtr4i 2683 1 𝐺 = 𝐻
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  (,)cioo 12213  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  sincsin 14838  πcpi 14841  citg 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
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