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Theorem wallispilem3 40602
Description: I maps to real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem3.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
wallispilem3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼𝑁) ∈ ℝ+)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem3
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑤 = 0 → (𝑚𝑤𝑚 ≤ 0))
21imbi1d 330 . . . . 5 (𝑤 = 0 → ((𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ 0 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
32ralbidv 3015 . . . 4 (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
4 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑚𝑤𝑚𝑦))
54imbi1d 330 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
65ralbidv 3015 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
7 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (𝑚𝑤𝑚 ≤ (𝑦 + 1)))
87imbi1d 330 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 + 1) → ((𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
98ralbidv 3015 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
10 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (𝑚𝑤𝑚𝑁))
1110imbi1d 330 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → ((𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
1211ralbidv 3015 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑤 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
13 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ≤ 0)
14 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑚)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑚)
16 nn0re 11339 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 𝑚 ∈ ℝ)
18 0red 10079 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
1917, 18letri3d 10217 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → (𝑚 = 0 ↔ (𝑚 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚)))
2013, 15, 19mpbir2and 977 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → 𝑚 = 0)
2120fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → (𝐼𝑚) = (𝐼‘0))
22 wallispilem3.1 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
2322wallispilem2 40601 . . . . . . . . 9 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2)))))
2423simp1i 1090 . . . . . . . 8 (𝐼‘0) = π
25 pirp 24258 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ+
2624, 25eqeltri 2726 . . . . . . 7 (𝐼‘0) ∈ ℝ+
2721, 26syl6eqel 2738 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ 0) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
2827ex 449 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ 0 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
2928rgen 2951 . . . 4 𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ 0 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
30 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑚 𝑦 ∈ ℕ0
31 nfra1 2970 . . . . . . 7 𝑚𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
3230, 31nfan 1868 . . . . . 6 𝑚(𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
33 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
34 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35 rsp 2958 . . . . . . . . 9 (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
3633, 34, 35sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
37 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 1 → (𝐼𝑚) = (𝐼‘1))
3823simp2i 1091 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼‘1) = 2
39 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
4038, 39eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼‘1) ∈ ℝ+
4137, 40syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
4323simp3i 1092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼𝑚) = (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))))
45 eluz2nn 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 𝑚 ∈ ℕ)
46 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
47 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
4846, 47resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
4945, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
50 1m1e0 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 − 1) = 0
51 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
52 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 𝑚 ∈ ℝ)
53 eluz2b2 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑚))
5453simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑚)
5551, 52, 51, 54ltsub1dd 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (1 − 1) < (𝑚 − 1))
5650, 55syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑚 − 1))
5749, 56elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ+)
5845nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → 𝑚 ∈ ℝ+)
5957, 58rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑚 − 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
61 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚𝑦𝑘𝑦))
62 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑘 → (𝐼𝑚) = (𝐼𝑘))
6362eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐼𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼𝑘) ∈ ℝ+))
6461, 63imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+)))
6564cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+))
6665biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+))
6766ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+))
68 uznn0sub 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) ∈ ℕ0)
7067, 69jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0))
71 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
73 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘2))
74 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
7574oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) = ((𝑦 + 1) − 2))
76 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
77763ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
7877recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
79 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 = (1 + 1)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 2 = (1 + 1))
8180oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = ((𝑦 + 1) − (1 + 1)))
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
83 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
8482, 83, 83pnpcan2d 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − (1 + 1)) = (𝑦 − 1))
8581, 84eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
8678, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 + 1) − 2) = (𝑦 − 1))
8775, 86eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) = (𝑦 − 1))
8877lem1d 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑦 − 1) ≤ 𝑦)
8987, 88eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
9071, 72, 73, 89syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑚 − 2) ≤ 𝑦)
91 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝑘𝑦 ↔ (𝑚 − 2) ≤ 𝑦))
92 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑚 − 2) → (𝐼𝑘) = (𝐼‘(𝑚 − 2)))
9392eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝐼𝑘) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
9491, 93imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑚 − 2) → ((𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+) ↔ ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)))
9594rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑘𝑦 → (𝐼𝑘) ∈ ℝ+) ∧ (𝑚 − 2) ∈ ℕ0) → ((𝑚 − 2) ≤ 𝑦 → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+))
9670, 90, 95sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼‘(𝑚 − 2)) ∈ ℝ+)
9760, 96rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑚 − 1) / 𝑚) · (𝐼‘(𝑚 − 2))) ∈ ℝ+)
9844, 97eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
9998adantllr 755 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
10099ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
101 simplll 813 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
102 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
103 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
104 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
105 nn0p1nn 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
1061053ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
107104, 106eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
108 elnnuz 11762 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
109107, 108sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘1))
110 uzp1 11759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘(1 + 1))))
111 1p1e2 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
112111fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
113112eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ‘2))
114113orbi2i 540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)))
115110, 114sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)))
116109, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)))
117101, 102, 103, 116syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 ∈ (ℤ‘2)))
11842, 100, 117mpjaod 395 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
119118adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
120119ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 = (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
121 simplll 813 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
122 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
123 simpl1 1084 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
124 simpl2 1085 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
125 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
126 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
127 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = 0) → 0 ≤ 𝑦)
129126, 128eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 = 0) → 𝑚𝑦)
1301293ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚𝑦)
131 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ0)
132 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
133 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
134 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 < (𝑦 + 1))
135 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
136 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
137 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
138483ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℝ)
139763ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
140 nnm1ge0 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑚 − 1))
1411403ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 ≤ (𝑚 − 1))
142463ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
143 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
144142, 143, 139ltsubaddd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → ((𝑚 − 1) < 𝑦𝑚 < (𝑦 + 1)))
145134, 144mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 − 1) < 𝑦)
146137, 138, 139, 141, 145lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 0 < 𝑦)
147146gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ≠ 0)
148 elnnne0 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ≠ 0))
149136, 147, 148sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℕ)
150 nnleltp1 11470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑚𝑦𝑚 < (𝑦 + 1)))
151135, 149, 150syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 < (𝑦 + 1)))
152134, 151mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚𝑦)
153131, 132, 133, 152syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚𝑦)
154 elnn0 11332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
155154biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
156155orcomd 402 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
1571563ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 ∈ ℕ))
158130, 153, 157mpjaodan 844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) → 𝑚𝑦)
159158orcd 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
160123, 124, 125, 159syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 < (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
161 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → 𝑚 = (𝑦 + 1))
162161olcd 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) ∧ 𝑚 = (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
163 simp3 1083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ≤ (𝑦 + 1))
164163ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑚 ∈ ℝ)
165763ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
166 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
167165, 166readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
168164, 167leloed 10218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) ↔ (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1))))
169163, 168mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚 < (𝑦 + 1) ∨ 𝑚 = (𝑦 + 1)))
170160, 162, 169mpjaodan 844 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
171121, 34, 122, 170syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝑚𝑦𝑚 = (𝑦 + 1)))
17236, 120, 171mpjaod 395 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ≤ (𝑦 + 1)) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)
173172exp31 629 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) → (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
17432, 173ralrimi 2986 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
175174ex 449 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑦 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚 ≤ (𝑦 + 1) → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+)))
1763, 6, 9, 12, 29, 175nn0ind 11510 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+))
177176ancri 574 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
178 nn0re 11339 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
179178leidd 10632 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
180 breq1 4688 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑁𝑁𝑁))
181 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝐼𝑚) = (𝐼𝑁))
182181eleq1d 2715 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐼𝑚) ∈ ℝ+ ↔ (𝐼𝑁) ∈ ℝ+))
183180, 182imbi12d 333 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ↔ (𝑁𝑁 → (𝐼𝑁) ∈ ℝ+)))
184183rspccva 3339 . 2 ((∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑚𝑁 → (𝐼𝑚) ∈ ℝ+) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑁 → (𝐼𝑁) ∈ ℝ+))
185177, 179, 184sylc 65 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cuz 11725  +crp 11870  (,)cioo 12213  cexp 12900  sincsin 14838  πcpi 14841  citg 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
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