Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem2 40794
Description: A first set of properties for the sequence 𝐼 that will be used in the proof of the Wallis product formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem2.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
wallispilem2 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem2
StepHypRef Expression
1 0nn0 11508 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 oveq2 6800 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑0))
32adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑0))
4 ioosscn 40231 . . . . . . . . . . 11 (0(,)π) ⊆ ℂ
54sseli 3746 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
65sincld 15065 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
76adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
87exp0d 13208 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑0) = 1)
93, 8eqtrd 2804 . . . . . 6 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = 1)
109itgeq2dv 23767 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
11 ioombl 23552 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
12 0re 10241 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
13 pire 24430 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
14 ioovolcl 23557 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
1512, 13, 14mp2an 664 . . . . . . 7 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
16 ax-1cn 10195 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
17 itgconst 23804 . . . . . . 7 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
1811, 15, 16, 17mp3an 1571 . . . . . 6 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
1915recni 10253 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℂ
2019mulid2i 10244 . . . . . . 7 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (vol‘(0(,)π))
21 pipos 24432 . . . . . . . . . 10 0 < π
2212, 13, 21ltleii 10361 . . . . . . . . 9 0 ≤ π
23 volioo 23556 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2412, 13, 22, 23mp3an 1571 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
2513recni 10253 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2625subid1i 10554 . . . . . . . 8 (π − 0) = π
2724, 26eqtri 2792 . . . . . . 7 (vol‘(0(,)π)) = π
2820, 27eqtri 2792 . . . . . 6 (1 · (vol‘(0(,)π))) = π
2918, 28eqtri 2792 . . . . 5 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = π
3010, 29syl6eq 2820 . . . 4 (𝑛 = 0 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = π)
31 wallispilem2.1 . . . 4 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3213elexi 3362 . . . 4 π ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6424 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐼‘0) = π)
341, 33ax-mp 5 . 2 (𝐼‘0) = π
35 1nn0 11509 . . . 4 1 ∈ ℕ0
36 simpl 468 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 1)
3736oveq2d 6808 . . . . . . 7 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑1))
386adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3938exp1d 13209 . . . . . . 7 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑1) = (sin‘𝑥))
4037, 39eqtrd 2804 . . . . . 6 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = (sin‘𝑥))
4140itgeq2dv 23767 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
42 itgex 23756 . . . . 5 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 ∈ V
4341, 31, 42fvmpt 6424 . . . 4 (1 ∈ ℕ0 → (𝐼‘1) = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
4435, 43ax-mp 5 . . 3 (𝐼‘1) = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
45 itgsin0pi 40679 . . 3 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
4644, 45eqtri 2792 . 2 (𝐼‘1) = 2
47 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
4831, 47itgsinexp 40682 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
4934, 46, 483pm3.2i 1422 1 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cmpt 4861  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  0cn0 11493  cuz 11887  (,)cioo 12379  cexp 13066  sincsin 14999  πcpi 15002  volcvol 23450  citg 23605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-ovol 23451  df-vol 23452  df-mbf 23606  df-itg1 23607  df-itg2 23608  df-ibl 23609  df-itg 23610  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  wallispilem3  40795  wallispilem4  40796
  Copyright terms: Public domain W3C validator