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Theorem wallispi2 40793
Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to prove Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispi2.1 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
wallispi2 𝑉 ⇝ (π / 2)

Proof of Theorem wallispi2
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . 2 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
2 1cnd 10248 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3 2cnd 11285 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4 nncn 11220 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
53, 4mulcld 10252 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
65, 2addcld 10251 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
7 elnnuz 11917 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
87biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
9 eqidd 2761 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))
10 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → 𝑘 = 𝑚)
1110oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑚))
1211oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘)↑4) = ((2 · 𝑚)↑4))
1311oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑚) − 1))
1411, 13oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → ((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)))
1514oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2) = (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2))
1612, 15oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (1...𝑛) ∧ 𝑘 = 𝑚) → (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
17 elfznn 12563 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
18 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℂ)
1917nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℂ)
2018, 19mulcld 10252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21 4nn0 11503 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 4 ∈ ℕ0)
2320, 22expcld 13202 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚)↑4) ∈ ℂ)
24 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℂ)
2520, 24subcld 10584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ∈ ℂ)
2620, 25mulcld 10252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ∈ ℂ)
2726sqcld 13200 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ∈ ℂ)
28 2ne0 11305 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ≠ 0)
3017nnne0d 11257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ≠ 0)
3118, 19, 29, 30mulne0d 10871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 0)
32 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
33 2re 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℝ)
3534, 32remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ∈ ℝ)
3617nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ∈ ℝ)
38 1lt2 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < 2)
40 2t1e2 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 1) = 2
4139, 40syl6breqr 4846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 1))
42 0le2 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 2
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 0 ≤ 2)
44 elfzle1 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑚)
4532, 36, 34, 43, 44lemul2ad 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑚))
4632, 35, 37, 41, 45ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 1 < (2 · 𝑚))
4732, 46gtned 10364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (2 · 𝑚) ≠ 1)
4820, 24, 47subne0d 10593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) − 1) ≠ 0)
4920, 25, 31, 48mulne0d 10871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1)) ≠ 0)
50 2z 11601 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 2 ∈ ℤ)
5226, 49, 51expne0d 13208 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2) ≠ 0)
5323, 27, 52divcld 10993 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)) ∈ ℂ)
549, 16, 17, 53fvmptd 6450 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) = (((2 · 𝑚)↑4) / (((2 · 𝑚) · ((2 · 𝑚) − 1))↑2)))
5554, 53eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
5655adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2)))‘𝑚) ∈ ℂ)
57 mulcl 10212 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
5857adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑤) ∈ ℂ)
598, 56, 58seqcl 13015 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
60 2nn 11377 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
62 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6361, 62nnmulcld 11260 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
6463peano2nnd 11229 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
6564nnne0d 11257 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
662, 6, 59, 65div32d 11016 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))))
6759, 6, 65divcld 10993 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
6867mulid2d 10250 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 · ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
69 wallispi2lem2 40792 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) = (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)))
7069oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7166, 68, 703eqtrd 2798 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7271mpteq2ia 4892 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
73 wallispi2lem1 40791 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
7473mpteq2ia 4892 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘)↑4) / (((2 · 𝑘) · ((2 · 𝑘) − 1))↑2))))‘𝑛)))
75 wallispi2.1 . . 3 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7672, 74, 753eqtr4ri 2793 . 2 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))‘𝑛))
771, 76wallispi 40790 1 𝑉 ⇝ (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  4c4 11264  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  seqcseq 12995  cexp 13054  !cfa 13254  cli 14414  πcpi 14996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-itg 23591  df-0p 23636  df-limc 23829  df-dv 23830
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