Theorem vtxdlfuhgr1v 26431

Description: The degree of the vertex in a loop-free hypergraph with one vertex is 0. (Contributed by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfuhgr1v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfuhgr1v.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfuhgr1v.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdlfuhgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfuhgr1v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1084	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		simpr 476	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		vtxdlfuhgr1v.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfuhgr1v.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfuhgr1v.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
6	3, 4, 5	lfuhgr1v0e 26191	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = ∅)
8		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
9	3, 8	vtxduhgr0e 26430	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (Edg‘𝐺) = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
11	10	ex 449	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Edgcedg 25984  UHGraphcuhgr 25996  VtxDegcvtxdg 26417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-vtxdg 26418

This theorem is referenced by:  vdumgr0  26432