MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1fi 26642
Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1fi (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdginducedm1.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdginducedm1.k . . 3 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4 vtxdginducedm1.i . . 3 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
5 vtxdginducedm1.p . . 3 𝑃 = (𝐸𝐼)
6 vtxdginducedm1.s . . 3 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7 vtxdginducedm1.j . . 3 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1 26641 . 2 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
95dmeqi 5472 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸𝐼)
10 finresfin 8343 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (𝐸𝐼) ∈ Fin)
11 dmfi 8401 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
139, 12syl5eqel 2835 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
146fveq2i 6347 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
151fvexi 6355 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
1615difexi 4953 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
173, 16eqeltri 2827 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
182fvexi 6355 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
1918resex 5593 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐼) ∈ V
205, 19eqeltri 2827 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
2117, 20opvtxfvi 26080 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
2214, 21, 33eqtrri 2779 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
231, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 26637 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝑆) = 𝑃
2423eqcomi 2761 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25 eqid 2752 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
2622, 24, 25vtxdgfisnn0 26573 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2713, 26sylan 489 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2827nn0red 11536 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29 dmfi 8401 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30 rabfi 8342 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
327, 31syl5eqel 2835 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33 rabfi 8342 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Fin → {𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin)
34 hashcl 13331 . . . . . . . . 9 ({𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3635adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11536 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℝ)
3828, 37rexaddd 12250 . . . . 5 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
3938eqeq2d 2762 . . . 4 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4039biimpd 219 . . 3 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4140ralimdva 3092 . 2 (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
428, 41mpi 20 1 (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wnel 3027  wral 3042  {crab 3046  Vcvv 3332  cdif 3704  {csn 4313  cop 4319  dom cdm 5258  cres 5260  cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113   + caddc 10123  0cn0 11476   +𝑒 cxad 12129  chash 13303  Vtxcvtx 26065  iEdgciedg 26066  VtxDegcvtxdg 26563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-xadd 12132  df-fz 12512  df-hash 13304  df-vtx 26067  df-iedg 26068  df-vtxdg 26564
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  26646
  Copyright terms: Public domain W3C validator