Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1 26649
 Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐸(𝑣)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
2 vtxdginducedm1.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
31, 2elnelun 4107 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐼) = dom 𝐸
43eqcomi 2769 . . . . . . . . . 10 dom 𝐸 = (𝐽𝐼)
54rabeqi 3333 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
6 rabun2 4049 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
75, 6eqtri 2782 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
87fveq2i 6355 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = (♯‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
9 vtxdginducedm1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
109fvexi 6363 . . . . . . . . . 10 𝐸 ∈ V
1110dmex 7264 . . . . . . . . 9 dom 𝐸 ∈ V
121, 11rab2ex 4967 . . . . . . . 8 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V
132, 11rab2ex 4967 . . . . . . . 8 {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V
14 ssrab2 3828 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐽
15 ssrab2 3828 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐼
16 ss2in 3983 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ⊆ 𝐼) → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼))
1714, 15, 16mp2an 710 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼)
181, 2elneldisj 4106 . . . . . . . . . . 11 (𝐽𝐼) = ∅
1918sseq2i 3771 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼) ↔ ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ ∅)
20 ss0 4117 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ ∅ → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅)
2119, 20sylbi 207 . . . . . . . . 9 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ⊆ (𝐽𝐼) → ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅)
2217, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅
23 hashunx 13367 . . . . . . . 8 (({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V ∧ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V ∧ ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∩ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ∅) → (♯‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) = ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})))
2412, 13, 22, 23mp3an 1573 . . . . . . 7 (♯‘({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∪ {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) = ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
258, 24eqtri 2782 . . . . . 6 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
264rabeqi 3333 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
27 rabun2 4049 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (𝐽𝐼) ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
2826, 27eqtri 2782 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} = ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
2928fveq2i 6355 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = (♯‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
301, 11rab2ex 4967 . . . . . . . 8 {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V
312, 11rab2ex 4967 . . . . . . . 8 {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V
32 ssrab2 3828 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐽
33 ssrab2 3828 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐼
34 ss2in 3983 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ⊆ 𝐼) → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼))
3532, 33, 34mp2an 710 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼)
3618sseq2i 3771 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼) ↔ ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ ∅)
37 ss0 4117 . . . . . . . . . 10 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ ∅ → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅)
3836, 37sylbi 207 . . . . . . . . 9 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ⊆ (𝐽𝐼) → ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅)
3935, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅
40 hashunx 13367 . . . . . . . 8 (({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V ∧ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V ∧ ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∩ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ∅) → (♯‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
4130, 31, 39, 40mp3an 1573 . . . . . . 7 (♯‘({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∪ {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
4229, 41eqtri 2782 . . . . . 6 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
4325, 42oveq12i 6825 . . . . 5 ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
44 hashxnn0 13321 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
4512, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
47 hashxnn0 13321 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
4813, 47ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0*)
50 hashxnn0 13321 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5130, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*
5251a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
53 hashxnn0 13321 . . . . . . . . 9 ({𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5431, 53ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*)
5646, 49, 52, 55xnn0add4d 12327 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))))
57 xnn0xaddcl 12259 . . . . . . . . . 10 (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*) → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*)
5845, 51, 57mp2an 710 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*
59 xnn0xr 11560 . . . . . . . . 9 (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0* → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*)
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*
61 xnn0xaddcl 12259 . . . . . . . . . 10 (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) ∈ ℕ0*) → ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*)
6248, 54, 61mp2an 710 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0*
63 xnn0xr 11560 . . . . . . . . 9 (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℕ0* → ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*)
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*
65 xaddcom 12264 . . . . . . . 8 ((((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ* ∧ ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) ∈ ℝ*) → (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))))
6660, 64, 65mp2an 710 . . . . . . 7 (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
67 vtxdginducedm1.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
68 vtxdginducedm1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
69 vtxdginducedm1.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝐸𝐼)
70 vtxdginducedm1.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7167, 9, 68, 2, 69, 70, 1vtxdginducedm1lem4 26648 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) = 0)
7271oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0))
73 xnn0xr 11560 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℕ0* → (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ*)
7445, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ*
75 xaddid1 12265 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) ∈ ℝ* → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 0) = (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
7772, 76syl6eq 2810 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}))
78 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑙))
7978eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑣 ∈ (𝐸𝑘) ↔ 𝑣 ∈ (𝐸𝑙)))
8079cbvrabv 3339 . . . . . . . . . 10 {𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)} = {𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}
8180fveq2i 6355 . . . . . . . . 9 (♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) = (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})
8277, 81syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
8382oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8466, 83syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8556, 84eqtrd 2794 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((♯‘{𝑘𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})) +𝑒 ((♯‘{𝑘𝐽 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8643, 85syl5eq 2806 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
8767, 9, 68, 2, 69, 70vtxdginducedm1lem2 26646 . . . . . . . . . 10 dom (iEdg‘𝑆) = 𝐼
8887rabeqi 3333 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}
8967, 9, 68, 2, 69, 70vtxdginducedm1lem3 26647 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐼 → ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = (𝐸𝑘))
9089eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐼 → (𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) ↔ 𝑣 ∈ (𝐸𝑘)))
9190rabbiia 3324 . . . . . . . . 9 {𝑘𝐼𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
9288, 91eqtri 2782 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)} = {𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}
9392fveq2i 6355 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) = (♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)})
9487rabeqi 3333 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}
9589eqeq1d 2762 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐼 → (((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣} ↔ (𝐸𝑘) = {𝑣}))
9695rabbiia 3324 . . . . . . . . 9 {𝑘𝐼 ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
9794, 96eqtri 2782 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}} = {𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}
9897fveq2i 6355 . . . . . . 7 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}) = (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})
9993, 98oveq12i 6825 . . . . . 6 ((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}}))
10099eqcomi 2769 . . . . 5 ((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}}))
101100oveq1i 6823 . . . 4 (((♯‘{𝑘𝐼𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘𝐼 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
10286, 101syl6eq 2810 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})) = (((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
103 eldifi 3875 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝑉)
104 eqid 2760 . . . . 5 dom 𝐸 = dom 𝐸
10567, 9, 104vtxdgval 26574 . . . 4 (𝑣𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
106103, 105syl 17 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸𝑣 ∈ (𝐸𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑘) = {𝑣}})))
10770fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
10867fvexi 6363 . . . . . . . . . 10 𝑉 ∈ V
109 difexg 4960 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V)
11068, 109syl5eqel 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
111108, 110ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ V
112 resexg 5600 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ V → (𝐸𝐼) ∈ V)
11369, 112syl5eqel 2843 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ V → 𝑃 ∈ V)
11410, 113ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ V
115111, 114opvtxfvi 26088 . . . . . . . 8 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
116107, 115eqtri 2782 . . . . . . 7 (Vtx‘𝑆) = 𝐾
117116eleq2i 2831 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆) ↔ 𝑣𝐾)
11868eleq2i 2831 . . . . . 6 (𝑣𝐾𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
119117, 118sylbbr 226 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆))
120 eqid 2760 . . . . . 6 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
121 eqid 2760 . . . . . 6 (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
122 eqid 2760 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝑆) = dom (iEdg‘𝑆)
123120, 121, 122vtxdgval 26574 . . . . 5 (𝑣 ∈ (Vtx‘𝑆) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})))
124119, 123syl 17 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = ((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})))
125124oveq1d 6828 . . 3 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ 𝑣 ∈ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘)}) +𝑒 (♯‘{𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝑆) ∣ ((iEdg‘𝑆)‘𝑘) = {𝑣}})) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
126102, 106, 1253eqtr4d 2804 . 2 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
127126rgen 3060 1 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∉ wnel 3035  ∀wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321  ⟨cop 4327  dom cdm 5266   ↾ cres 5268  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  ℝ*cxr 10265  ℕ0*cxnn0 11555   +𝑒 cxad 12137  ♯chash 13311  Vtxcvtx 26073  iEdgciedg 26074  VtxDegcvtxdg 26571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-xadd 12140  df-fz 12520  df-hash 13312  df-vtx 26075  df-iedg 26076  df-vtxdg 26572 This theorem is referenced by:  vtxdginducedm1fi  26650
 Copyright terms: Public domain W3C validator