MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfival Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfival 26597
Description: The degree of a vertex for graphs of finite size. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.) (Revised by AV, 8-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgval.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfival ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtxdgfival
StepHypRef Expression
1 vtxdgval.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdgval.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdgval.a . . . 4 𝐴 = dom 𝐼
41, 2, 3vtxdgval 26596 . . 3 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
54adantl 473 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
6 rabfi 8353 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin)
7 hashcl 13360 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
98nn0red 11565 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ)
10 rabfi 8353 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)
11 hashcl 13360 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
1312nn0red 11565 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ)
149, 13jca 555 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ))
1514adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ))
16 rexadd 12277 . . 3 (((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
185, 17eqtrd 2795 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  {crab 3055  {csn 4322  dom cdm 5267  cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  cr 10148   + caddc 10152  0cn0 11505   +𝑒 cxad 12158  chash 13332  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  VtxDegcvtxdg 26593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-xadd 12161  df-hash 13333  df-vtxdg 26594
This theorem is referenced by:  vtxdg0e  26602  vtxdgfisnn0  26603  finsumvtxdg2ssteplem2  26674
  Copyright terms: Public domain W3C validator