Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfisf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfisf 26606
 Description: The vertex degree function on graphs of finite size is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdg0e.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfisnn0.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfisf ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfisf
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21vtxdgf 26601 . . . 4 (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)
32adantr 466 . . 3 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)
43ffnd 6186 . 2 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺) Fn 𝑉)
5 vtxdg0e.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6 vtxdgfisnn0.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
71, 5, 6vtxdgfisnn0 26605 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
87adantll 685 . . 3 (((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
98ralrimiva 3114 . 2 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
10 ffnfv 6530 . 2 ((VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺) Fn 𝑉 ∧ ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0))
114, 9, 10sylanbrc 564 1 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  dom cdm 5249   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  Fincfn 8108  ℕ0cn0 11493  ℕ0*cxnn0 11564  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  VtxDegcvtxdg 26595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-xadd 12151  df-hash 13321  df-vtxdg 26596 This theorem is referenced by:  vtxdgfusgrf  26627  eupth2lem3lem1  27405  eupth2lem3lem2  27406
 Copyright terms: Public domain W3C validator