MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxd0nedgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxd0nedgb 26615
Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxd0nedgb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxd0nedgb (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb
StepHypRef Expression
1 vtxd0nedgb.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6354 . . . 4 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxd0nedgb.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxd0nedgb.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 eqid 2760 . . . . 5 dom 𝐼 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 26595 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
72, 6syl5eq 2806 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
87eqeq1d 2762 . 2 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0))
9 fvex 6363 . . . . . . . 8 (iEdg‘𝐺) ∈ V
104, 9eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
1110dmex 7265 . . . . . 6 dom 𝐼 ∈ V
1211rabex 4964 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V
13 hashxnn0 13341 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*
1511rabex 4964 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V
16 hashxnn0 13341 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*
1814, 17pm3.2i 470 . . 3 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
19 xnn0xadd0 12290 . . 3 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*) → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
2018, 19mp1i 13 . 2 (𝑈𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
21 hasheq0 13366 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅))
2212, 21ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅)
23 hasheq0 13366 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
2415, 23ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅)
2522, 24anbi12i 735 . . . 4 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
26 rabeq0 4100 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))
27 rabeq0 4100 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈})
2826, 27anbi12i 735 . . . 4 (({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
29 ralnex 3130 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3029bicomi 214 . . . . . 6 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
31 ioran 512 . . . . . . 7 (¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3231ralbii 3118 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
33 r19.26 3202 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3430, 32, 333bitri 286 . . . . 5 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3534bicomi 214 . . . 4 ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3625, 28, 353bitri 286 . . 3 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
37 snidg 4351 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈})
38 eleq2 2828 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
3937, 38syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝑈𝑉 → ((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
40 pm4.72 956 . . . . . . 7 (((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
4139, 40sylib 208 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
42 orcom 401 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4341, 42syl6rbbr 279 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4443rexbidv 3190 . . . 4 (𝑈𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4544notbid 307 . . 3 (𝑈𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4636, 45syl5bb 272 . 2 (𝑈𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
478, 20, 463bitrd 294 1 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340  c0 4058  {csn 4321  dom cdm 5266  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  0*cxnn0 11575   +𝑒 cxad 12157  chash 13331  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  VtxDegcvtxdg 26592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-xadd 12160  df-fz 12540  df-hash 13332  df-vtxdg 26593
This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  26619  vtxduhgr0edgnel  26621  1loopgrvd0  26631  1hevtxdg0  26632
  Copyright terms: Public domain W3C validator