Theorem vrgpinv 18389

Description: The inverse of a generating element is represented by ⟨𝐴, 1⟩ instead of ⟨𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpinv	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] ∼ )

Proof of Theorem vrgpinv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpval 18387	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
4	3	fveq2d 6336	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
5		simpr 471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		0ex 4924	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4433	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
8		df2o3 7727	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
9	7, 8	eleqtrri 2849	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2𝑜
10		opelxpi 5288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
11	5, 9, 10	sylancl 574	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
12	11	s1cld 13583	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
13		simpl 468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		2on 7722	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ On
15		xpexg 7107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 574	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
17		wrdexg 13511	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
18		fvi 6397	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
20	12, 19	eleqtrrd 2853	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
22		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23		vrgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
24		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)
25	21, 22, 1, 23, 24	frgpinv 18384	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
26	20, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ )
27		revs1 13723	. . . . . 6 ⊢ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
29	28	coeq2d 5423	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
30	24	efgmf 18333	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
31		s1co 13788	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
32	11, 30, 31	sylancl 574	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
33	24	efgmval 18332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
34	5, 9, 33	sylancl 574	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
35		df-ov 6796	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)∅) = ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36		dif0 4097	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 ∖ ∅) = 1𝑜
37	36	opeq2i 4543	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1𝑜⟩
38	34, 35, 37	3eqtr3g 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1𝑜⟩)
39	38	s1eqd 13581	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ⟨“((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
40	29, 32, 39	3eqtrd 2809	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
41	40	eceq1d 7935	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → [((𝑥 ∈ 𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜 ∖ 𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] ∼ = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] ∼ )
42	4, 26, 41	3eqtrd 2809	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝑈‘𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720  ∅c0 4063  {cpr 4318  ⟨cop 4322   I cid 5156   × cxp 5247   ∘ ccom 5253  Oncon0 5866  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  1_𝑜c1o 7706  2_𝑜c2o 7707  [cec 7894  Word cword 13487  ⟨“cs1 13490  reversecreverse 13493  inv_gcminusg 17631   ~_FG cefg 18326  freeGrpcfrgp 18327  var_FGrpcvrgp 18328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-frmd 17594  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-efg 18329  df-frgp 18330  df-vrgp 18331

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18397