Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vrgpinv 18389
 Description: The inverse of a generating element is represented by ⟨𝐴, 1⟩ instead of ⟨𝐴, 0⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r = ( ~FG𝐼)
vrgpfval.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
vrgpf.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
vrgpinv ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )

Proof of Theorem vrgpinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrgpfval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
2 vrgpfval.u . . . 4 𝑈 = (varFGrp𝐼)
31, 2vrgpval 18387 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
43fveq2d 6336 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
5 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐴𝐼)
6 0ex 4924 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
76prid1 4433 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
8 df2o3 7727 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
97, 8eleqtrri 2849 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
10 opelxpi 5288 . . . . . 6 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
115, 9, 10sylancl 574 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
1211s1cld 13583 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
13 simpl 468 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐼𝑉)
14 2on 7722 . . . . . 6 2𝑜 ∈ On
15 xpexg 7107 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 574 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
17 wrdexg 13511 . . . . 5 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
18 fvi 6397 . . . . 5 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1916, 17, 183syl 18 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2012, 19eleqtrrd 2853 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21 eqid 2771 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
22 vrgpf.m . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
23 vrgpinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
24 eqid 2771 . . . 4 (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) = (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)
2521, 22, 1, 23, 24frgpinv 18384 . . 3 (⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] )
2620, 25syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] )
27 revs1 13723 . . . . . 6 (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
2928coeq2d 5423 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
3024efgmf 18333 . . . . 5 (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
31 s1co 13788 . . . . 5 ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩):(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3211, 30, 31sylancl 574 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3324efgmval 18332 . . . . . . 7 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
345, 9, 33sylancl 574 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ⟨𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩)
35 df-ov 6796 . . . . . 6 (𝐴(𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)∅) = ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)
36 dif0 4097 . . . . . . 7 (1𝑜 ∖ ∅) = 1𝑜
3736opeq2i 4543 . . . . . 6 𝐴, (1𝑜 ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐴, 1𝑜
3834, 35, 373eqtr3g 2828 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩) = ⟨𝐴, 1𝑜⟩)
3938s1eqd 13581 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ⟨“((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩)‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
4029, 32, 393eqtrd 2809 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = ⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩)
4140eceq1d 7935 . 2 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → [((𝑥𝐼, 𝑦 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑥, (1𝑜𝑦)⟩) ∘ (reverse‘⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩))] = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )
424, 26, 413eqtrd 2809 1 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑁‘(𝑈𝐴)) = [⟨“⟨𝐴, 1𝑜⟩”⟩] )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720  ∅c0 4063  {cpr 4318  ⟨cop 4322   I cid 5156   × cxp 5247   ∘ ccom 5253  Oncon0 5866  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707  [cec 7894  Word cword 13487  ⟨“cs1 13490  reversecreverse 13493  invgcminusg 17631   ~FG cefg 18326  freeGrpcfrgp 18327  varFGrpcvrgp 18328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-frmd 17594  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-efg 18329  df-frgp 18330  df-vrgp 18331 This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18397
 Copyright terms: Public domain W3C validator