MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vr1cl 19802
Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vr1cl.x 𝑋 = (var1𝑅)
vr1cl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
vr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
vr1cl (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)

Proof of Theorem vr1cl
StepHypRef Expression
1 vr1cl.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
21vr1val 19777 . 2 𝑋 = ((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅)
3 eqid 2771 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4 eqid 2771 . . 3 (1𝑜 mVar 𝑅) = (1𝑜 mVar 𝑅)
5 vr1cl.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 eqid 2771 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
7 vr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
85, 6, 7ply1bas 19780 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9 1onn 7877 . . . 4 1𝑜 ∈ ω
109a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ ω)
11 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12 0lt1o 7742 . . . 4 ∅ ∈ 1𝑜
1312a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1𝑜)
143, 4, 8, 10, 11, 13mvrcl 19664 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
152, 14syl5eqel 2854 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  c0 4063  cfv 6030  (class class class)co 6796  ωcom 7216  1𝑜c1o 7710  Basecbs 16064  Ringcrg 18755   mVar cmvr 19567   mPoly cmpl 19568  PwSer1cps1 19760  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767
This theorem is referenced by:  ply1moncl  19856  coe1pwmul  19864  ply1scltm  19866  ply1coefsupp  19880  ply1coe  19881  gsummoncoe1  19889  lply1binom  19891  evls1varpw  19906  evl1var  19915  evl1vard  19916  evls1var  19917  pf1id  19926  evl1scvarpw  19942  evl1scvarpwval  19943  evl1gsummon  19944  pmatcollpwscmatlem1  20814  mply1topmatcllem  20828  mply1topmatcl  20830  pm2mpghm  20841  monmat2matmon  20849  pm2mp  20850  chmatcl  20853  chmatval  20854  chpmat0d  20859  chpmat1dlem  20860  chpmat1d  20861  chpdmatlem0  20862  chpdmatlem2  20864  chpdmatlem3  20865  chpscmat  20867  chpscmatgsumbin  20869  chpscmatgsummon  20870  chp0mat  20871  chpidmat  20872  chfacfscmulcl  20882  chfacfscmul0  20883  chfacfscmulgsum  20885  cpmadugsumlemB  20899  cpmadugsumlemC  20900  cpmadugsumlemF  20901  cpmadugsumfi  20902  cpmidgsum2  20904  deg1pw  24100  ply1remlem  24142  fta1blem  24148  plypf1  24188  lgsqrlem2  25293  lgsqrlem3  25294  lgsqrlem4  25295  hbtlem4  38222  idomrootle  38299  ply1vr1smo  42694  ply1mulgsumlem4  42702  ply1mulgsum  42703  linply1  42706
  Copyright terms: Public domain W3C validator