Theorem vonvolmbllem 41394

Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
vonvolmbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
vonvolmbllem.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbllem	⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
2		vonvolmbllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		vonvolmbllem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
4		vonvolmbllem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
5	1, 2, 3, 4	ssmapsn 39926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑𝑚 {𝐴}))
6	5	ineq1d 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
7		reex 10229	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
9	3	sselda 3752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
10		elmapi 8031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12		frn 6193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14	13	ralrimiva 3115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15		iunss 4695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	14, 15	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
17	4, 16	syl5eqss 3798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
18	8, 17	ssexd 4939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
19		vonvolmbllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
20	8, 19	ssexd 4939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
21		snex 5036	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
23	18, 20, 22	inmap 39919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
24	6, 23	eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
25	24	fveq2d 6336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
26	17	ssinss1d 39735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
27	2, 26	ovnovol 41393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
28	25, 27	eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
29	5	difeq1d 3878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
30	18, 20, 2	difmapsn 39922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
31	29, 30	eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
32	31	fveq2d 6336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
33	17	ssdifssd 3899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
34	2, 33	ovnovol 41393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
35	32, 34	eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
36	28, 35	oveq12d 6811	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
37	5	fveq2d 6336	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑𝑚 {𝐴})))
38	2, 17	ovnovol 41393	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
39	18, 17	elpwd 4306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
40		vonvolmbllem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
41		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
42		ineq1 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∩ 𝐵) = (𝑌 ∩ 𝐵))
43	42	fveq2d 6336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
44		difeq1 3872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∖ 𝐵) = (𝑌 ∖ 𝐵))
45	44	fveq2d 6336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
46	43, 45	oveq12d 6811	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
47	41, 46	eqeq12d 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))))
48	47	rspcva 3458	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
49	39, 40, 48	syl2anc 573	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
50	37, 38, 49	3eqtrd 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
51	36, 50	eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  ∪ ciun 4654  ran crn 5250  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↑_𝑚 cmap 8009  ℝcr 10137   +_𝑒 cxad 12149  vol*covol 23450  voln*covoln 41270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-prod 14843  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-sumge0 41097  df-ovoln 41271

This theorem is referenced by:  vonvolmbl  41395