Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbllem 41394
 Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbllem.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbllem.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
vonvolmbllem.x (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
vonvolmbllem.y 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvolmbllem (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem
StepHypRef Expression
1 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑓𝑌
2 vonvolmbllem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
3 vonvolmbllem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
4 vonvolmbllem.y . . . . . . . 8 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
51, 2, 3, 4ssmapsn 39926 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (𝑌𝑚 {𝐴}))
65ineq1d 3964 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
7 reex 10229 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
93sselda 3752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
10 elmapi 8031 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12 frn 6193 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1413ralrimiva 3115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15 iunss 4695 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1614, 15sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
174, 16syl5eqss 3798 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
188, 17ssexd 4939 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
19 vonvolmbllem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
208, 19ssexd 4939 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
21 snex 5036 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
2318, 20, 22inmap 39919 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
246, 23eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
2524fveq2d 6336 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
2617ssinss1d 39735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
272, 26ovnovol 41393 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
2825, 27eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
295difeq1d 3878 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
3018, 20, 2difmapsn 39922 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
3129, 30eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
3231fveq2d 6336 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
3317ssdifssd 3899 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
342, 33ovnovol 41393 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3532, 34eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3628, 35oveq12d 6811 . 2 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
375fveq2d 6336 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})))
382, 17ovnovol 41393 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
3918, 17elpwd 4306 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
40 vonvolmbllem.e . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
41 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
42 ineq1 3958 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4342fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
44 difeq1 3872 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4544fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
4643, 45oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4741, 46eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵)))))
4847rspcva 3458 . . . 4 ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4939, 40, 48syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
5037, 38, 493eqtrd 2809 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
5136, 50eqtr4d 2808 1 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  ∪ ciun 4654  ran crn 5250  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↑𝑚 cmap 8009  ℝcr 10137   +𝑒 cxad 12149  vol*covol 23450  voln*covoln 41270 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-prod 14843  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-sumge0 41097  df-ovoln 41271 This theorem is referenced by:  vonvolmbl  41395
 Copyright terms: Public domain W3C validator