Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbl 41196
 Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbl.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbl.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonvolmbl (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Proof of Theorem vonvolmbl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑦 ∈ V)
3 reex 10065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 vonvolmbl.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
64, 5ssexd 4838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 snfi 8079 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝐴} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
98elexd 3245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
102, 6, 9inmap 39715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
1110eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
1211fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
13 vonvolmbl.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
142, 6, 13difmapsn 39718 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
1514eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
1615fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
1712, 16oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
1817ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
19 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ V)
203a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → ℝ ∈ V)
21 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
22 mapss 7942 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → (𝑦𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2320, 21, 22syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2419, 23elpwd 4200 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2524adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
26 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
27 ineq1 3840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
2827fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
29 difeq1 3754 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
3128, 30oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
32 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3331, 32eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴}))))
3433rspcva 3338 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3525, 26, 34syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3635adantll 750 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
37 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3818, 36, 373eqtrd 2689 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3938eqcomd 2657 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))))
4013adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝐴𝑉)
4121adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ⊆ ℝ)
4240, 41ovnovol 41194 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4342adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4441ssinss1d 39528 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4540, 44ovnovol 41194 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4641ssdifssd 3781 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4740, 46ovnovol 41194 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4845, 47oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
4948adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5039, 43, 493eqtr3d 2693 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5150ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5251ex 449 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
5313ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐴𝑉)
545ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐵 ⊆ ℝ)
55 simplr 807 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
56 elpwi 4201 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
5756adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
58 rneq 5383 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → ran 𝑔 = ran 𝑓)
5958cbviunv 4591 . . . . . 6 𝑔𝑥 ran 𝑔 = 𝑓𝑥 ran 𝑓
6053, 54, 55, 57, 59vonvolmbllem 41195 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6160ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6261ex 449 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
6352, 62impbid 202 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
64 mapss 7942 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
654, 5, 64syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
668isvonmbl 41173 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ((𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))))
6765, 66mpbirand 529 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
68 ismbl4 40528 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
6968a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))))
705, 69mpbirand 529 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
7163, 67, 703bitr4d 300 1 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ∪ ciun 4552  dom cdm 5143  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  ℝcr 9973   +𝑒 cxad 11982  vol*covol 23277  volcvol 23278  voln*covoln 41071  volncvoln 41073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-sumge0 40898  df-ome 41025  df-caragen 41027  df-ovoln 41072  df-voln 41074 This theorem is referenced by:  vonvol  41197  vonvolmbl2  41198  vonvol2  41199
 Copyright terms: Public domain W3C validator