Theorem vonvol2 41199

Description: The 1-dimensional Lebesgue measure agrees with the Lebesgue measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvol2.f	⊢ Ⅎ𝑓𝑌
vonvol2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvol2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
vonvol2.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvol2	⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem vonvol2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonvol2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vonvol2.f	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
3		snfi 8079	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
5		vonvol2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
6	4, 5	vonmblss2 41177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
7		vonvol2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
8	2, 1, 6, 7	ssmapsn 39722	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑𝑚 {𝐴}))
9	8	eqcomd 2657	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) = 𝑋)
10	9, 5	eqeltrd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}))
11	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
12		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ 𝑋)
13	11, 12	sseldd 3637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
14		elmapi 7921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
15		frn 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
17	16	ralrimiva 2995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
18		iunss 4593	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
19	17, 18	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
20	7, 19	syl5eqss 3682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
21	1, 20	vonvolmbl 41196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
22	10, 21	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ dom vol)
23	1, 22	vonvol 41197	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝑌 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol‘𝑌))
24	9	eqcomd 2657	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑𝑚 {𝐴}))
25	24	fveq2d 6233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln‘{𝐴})‘(𝑌 ↑𝑚 {𝐴})))
26		eqidd 2652	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑌) = (vol‘𝑌))
27	23, 25, 26	3eqtr4d 2695	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ∪ ciun 4552  dom cdm 5143  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑_𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  ℝcr 9973  volcvol 23278  volncvoln 41073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-sumge0 40898  df-ome 41025  df-caragen 41027  df-ovoln 41072  df-voln 41074

This theorem is referenced by: (None)