Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonn0icc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonn0icc 41422
 Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval, when the dimension of the space is nonzero. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonn0icc.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonn0icc.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonn0icc.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonn0icc.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonn0icc.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
Assertion
Ref Expression
vonn0icc (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonn0icc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonn0icc.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 vonn0icc.a . . . 4 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3 vonn0icc.b . . . 4 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
4 vonn0icc.i . . . 4 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
5 fveq2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑎𝑗) = (𝑎𝑘))
6 fveq2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑘))
75, 6oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)) = ((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
87fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
98cbvprodv 14853 . . . . . . . 8 𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
10 ifeq2 4230 . . . . . . . 8 (∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))) = ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥)) → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))) = if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
1312mpt2eq3ia 6867 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
1413mpteq2i 4875 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
151, 2, 3, 4, 14vonicc 41419 . . 3 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵))
1614fveq1i 6333 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋) = ((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)
1716oveqi 6806 . . . 4 (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵)
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑗𝑥 (vol‘((𝑎𝑗)[,)(𝑏𝑗))))))‘𝑋)𝐵) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
1915, 18eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵))
20 eqid 2771 . . 3 (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
21 vonn0icc.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2220, 1, 21, 2, 3hoidmvn0val 41318 . 2 (𝜑 → (𝐴((𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
232ffvelrnda 6502 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
243ffvelrnda 6502 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2523, 24voliccico 40733 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
2625eqcomd 2777 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
2726prodeq2dv 14860 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
2819, 22, 273eqtrd 2809 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∅c0 4063  ifcif 4225   ↦ cmpt 4863  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795   ↑𝑚 cmap 8009  Xcixp 8062  Fincfn 8109  ℝcr 10137  0cc0 10138  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  ∏cprod 14842  volcvol 23451  volncvoln 41272 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-prod 14843  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-pws 16318  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-field 18960  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-staf 19055  df-srng 19056  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-refld 20168  df-phl 20188  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-tng 22609  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-cncf 22901  df-clm 23082  df-cph 23187  df-tch 23188  df-rrx 23392  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-salg 41046  df-sumge0 41097  df-mea 41184  df-ome 41224  df-caragen 41226  df-ovoln 41271  df-voln 41273 This theorem is referenced by:  vonsn  41425  vonn0icc2  41426
 Copyright terms: Public domain W3C validator