Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonicc 41220
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a closed interval. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonicc.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonicc.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicc.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicc.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
vonicc.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
Assertion
Ref Expression
vonicc (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem vonicc
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonicc.l . . . . 5 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 vonicc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 feq2 6065 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
63, 5mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
7 vonicc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9 feq2 6065 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
118, 10mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ)
121, 6, 11hoidmv0val 41118 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)
1312eqcomd 2657 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
14 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
15 vonicc.i . . . . . . . 8 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
17 ixpeq1 7961 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
1816, 17eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
1914, 18fveq12d 6235 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
2019adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))))
21 0fin 8229 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
23 eqid 2651 . . . . . 6 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
2422, 23, 6, 11iccvonmbl 41214 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘∅))
2524von0val 41206 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))) = 0)
2620, 25eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = 0)
27 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐿𝑋) = (𝐿‘∅))
2827oveqd 6707 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
2928adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3013, 26, 293eqtr4d 2695 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
31 neqne 2831 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
3231adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
33 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑋 ≠ ∅)
34 nfra1 2970 . . . . . . . . 9 𝑘𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)
3533, 34nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
362ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
377ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
38 volico2 41176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
3936, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4039ad4ant14 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
41 rspa 2959 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
4241iftrued 4127 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4342adantll 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4440, 43eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4544ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝑘𝑋 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
4635, 45ralrimi 2986 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∀𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4746prodeq2d 14696 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4847eqcomd 2657 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
49 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
50 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
5149, 50breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
5251cbvralv 3201 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
5352biimpi 206 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
5453adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
55 vonicc.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5655adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
5756adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
582adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
5958adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
607adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
62 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6362adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → 𝑋 ≠ ∅)
6452, 41sylanbr 489 . . . . . . . 8 ((∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
6564adantll 750 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
66 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
6766oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))
6867cbvmptv 4783 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))
6968mpteq2i 4774 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚))))
70 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7170oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
7271mpteq2dv 4778 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
7372cbvmptv 4783 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
7469, 73eqtri 2673 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
75 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛))
7675fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘))
7776oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
7877ixpeq2dv 7966 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
7978cbvmptv 4783 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑖)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)))
8057, 59, 61, 63, 65, 15, 74, 79vonicclem2 41219 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
8154, 80syldan 486 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
821, 56, 62, 58, 60hoidmvn0val 41119 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8382adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
8448, 81, 833eqtr4d 2695 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
85 rexnal 3024 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8685bicomi 214 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8786biimpi 206 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
8887adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
89 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
9037adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
9136adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
9290, 91ltnled 10222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) ↔ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)))
9389, 92mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
9493ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9594reximdva 3046 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9695adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
9788, 96mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
9897adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
99 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑘(voln‘𝑋)
100 nfixp1 7970 . . . . . . . . . 10 𝑘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘))
10115, 100nfcxfr 2791 . . . . . . . . 9 𝑘𝐼
10299, 101nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼)
103 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴
104 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Fin
105 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(ℝ ↑𝑚 𝑥)
106 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑥 = ∅
107 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘0
108 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑥
109108nfcprod1 14684 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))
110106, 107, 109nfif 4148 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))
111105, 105, 110nfmpt2 6766 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘)))))
112104, 111nfmpt 4779 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
1131, 112nfcxfr 2791 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐿
114 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑋
115113, 114nffv 6236 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐿𝑋)
116 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
117103, 115, 116nfov 6716 . . . . . . . 8 𝑘(𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
118102, 117nfeq 2805 . . . . . . 7 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
11955vonmea 41109 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
120119mea0 40989 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
1211203ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
12215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)))
123 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝑘𝑋)
124 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))
125 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℝ*
126125, 36sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
127125, 37sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
128 icc0 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
129126, 127, 128syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
1301293adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
131124, 130mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
132 rspe 3032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
133123, 131, 132syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
134 ixp0 7983 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,](𝐵𝑘)) = ∅)
136122, 135eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → 𝐼 = ∅)
137136fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘∅))
138 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑋𝑋 ≠ ∅)
139138adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
140139, 82syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1411403adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
142 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑋𝑘𝑋))
143 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
14466, 143breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)))
145142, 1443anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ↔ (𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘))))
146145imbi1d 330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0) ↔ ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
147 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗))
148553ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
149 volicore 41116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
15036, 37, 149syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
151150recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1521513ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
153 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
15449, 50oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
155154fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
1572ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1587ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
159 volico2 41176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
160157, 158, 159syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
1611603adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
162 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗))
163158, 157ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
1641633adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) < (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗)))
165162, 164mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗))
166165iffalsed 4130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) ≤ (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
167161, 166eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
169156, 168eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
170147, 148, 152, 153, 169fprodeq0g 14769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) < (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
171146, 170chvarv 2299 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
172141, 171eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
173121, 137, 1723eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
1741733exp 1283 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
175174adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
17633, 118, 175rexlimd 3055 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)))
177176imp 444 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) < (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17898, 177syldan 486 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17984, 178pm2.61dan 849 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18032, 179syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18130, 180pm2.61dan 849 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑚 cmap 7899  Xcixp 7950  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  cprod 14679  volcvol 23278  volncvoln 41073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-pws 16157  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-phl 20019  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-tng 22436  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-cncf 22728  df-clm 22909  df-cph 23014  df-tch 23015  df-rrx 23219  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-salg 40847  df-sumge0 40898  df-mea 40985  df-ome 41025  df-caragen 41027  df-ovoln 41072  df-voln 41074
This theorem is referenced by:  vonn0icc  41223
  Copyright terms: Public domain W3C validator