Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonhoire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonhoire 41207
Description: The Lebesgue measure of a n-dimensional half-open interval is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonhoire.n 𝑘𝜑
vonhoire.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonhoire.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
vonhoire.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonhoire (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem vonhoire
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
21fveq1d 6231 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
32adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)))
4 ixpeq1 7961 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵))
6 vonhoire.n . . . . . . . 8 𝑘𝜑
7 0fin 8229 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
9 eqid 2651 . . . . . . . 8 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
10 noel 3952 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1110pm2.21i 116 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310pm2.21i 116 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ∅) → 𝐵 ∈ ℝ)
156, 8, 9, 12, 14hoimbl2 41200 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
175, 16eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ dom (voln‘∅))
1817von0val 41206 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
193, 18eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = 0)
20 0red 10079 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 ∈ ℝ)
2119, 20eqeltrd 2730 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
22 neqne 2831 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2322adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
24 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗𝑋)
25 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗𝑋
266, 25nfan 1868 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋)
27 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑗
2827nfcsb1 3581 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
2928nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ
3026, 29nfim 1865 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
31 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑋𝑗𝑋))
3231anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑋) ↔ (𝜑𝑗𝑋)))
33 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3433eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ))
3532, 34imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)))
36 vonhoire.a . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3730, 35, 36chvar 2298 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ)
38 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑋𝐴) = (𝑘𝑋𝐴)
3927, 28, 33, 38fvmptf 6340 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
4024, 37, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
4127nfcsb1 3581 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
42 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
4341, 42nfel 2806 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
4426, 43nfim 1865 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
45 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4645eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
4732, 46imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)))
48 vonhoire.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
4944, 47, 48chvar 2298 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
50 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑋𝐵) = (𝑘𝑋𝐵)
5127, 41, 45, 50fvmptf 6340 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑋𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5224, 49, 51syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5340, 52oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑋) → (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5453ixpeq2dva 7965 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
55 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝐴[,)𝐵)
56 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑘[,)
5728, 56, 41nfov 6716 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
5833, 45oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴[,)𝐵) = (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵))
5955, 57, 58cbvixp 7967 . . . . . . . . . 10 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵)
6059eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑗𝑋 (𝑗 / 𝑘𝐴[,)𝑗 / 𝑘𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵))
6254, 61eqtr2d 2686 . . . . . . 7 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)))
6362fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
6463adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
65 vonhoire.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6665adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
67 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
686, 36, 38fmptdf 6427 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
6968adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋𝐴):𝑋⟶ℝ)
706, 48, 50fmptdf 6427 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
7170adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
72 eqid 2651 . . . . . 6 X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗)) = X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))
7366, 67, 69, 71, 72vonn0hoi 41205 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑗𝑋 (((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
7464, 73eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) = ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))))
7540, 37eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ)
7652, 49eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ)
77 volicore 41116 . . . . . . 7 ((((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ ((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
7875, 76, 77syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
7965, 78fprodrecl 14727 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
8079adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∏𝑗𝑋 (vol‘(((𝑘𝑋𝐴)‘𝑗)[,)((𝑘𝑋𝐵)‘𝑗))) ∈ ℝ)
8174, 80eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
8223, 81syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
8321, 82pm2.61dan 849 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  csb 3566  c0 3948  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Xcixp 7950  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  [,)cico 12215  cprod 14679  volcvol 23278  volncvoln 41073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-prod 14680  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-salg 40847  df-sumge0 40898  df-mea 40985  df-ome 41025  df-caragen 41027  df-ovoln 41072  df-voln 41074
This theorem is referenced by:  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219
  Copyright terms: Public domain W3C validator