MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volss 23501
Description: The Lebesgue measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volss ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) ≤ (vol‘𝐵))

Proof of Theorem volss
StepHypRef Expression
1 simp3 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 mblss 23499 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
323ad2ant2 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
4 ovolss 23453 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
51, 3, 4syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
6 mblvol 23498 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
763ad2ant1 1128 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
8 mblvol 23498 . . 3 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
983ad2ant2 1129 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
105, 7, 93brtr4d 4836 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘𝐴) ≤ (vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cfv 6049  cr 10127  cle 10267  vol*covol 23431  volcvol 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-ovol 23433  df-vol 23434
This theorem is referenced by:  voliune  30601  volfiniune  30602  fourierdlem87  40913  voliunsge0lem  41192  hsphoidmvle2  41305  hsphoidmvle  41306  hoidmv1lelem1  41311  hoidmv1lelem2  41312  hoidmv1lelem3  41313  hoidifhspdmvle  41340
  Copyright terms: Public domain W3C validator