Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmeas 30603
 Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas vol ∈ (measures‘dom vol)

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 23497 . 2 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2 fvssunirn 6378 . . . . . 6 (sigAlgebra‘ℝ) ⊆ ran sigAlgebra
3 dmvlsiga 30501 . . . . . 6 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
42, 3sselii 3741 . . . . 5 dom vol ∈ ran sigAlgebra
5 0elsiga 30486 . . . . 5 (dom vol ∈ ran sigAlgebra → ∅ ∈ dom vol)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ dom vol
7 mblvol 23498 . . . 4 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
9 ovol0 23461 . . 3 (vol*‘∅) = 0
108, 9eqtri 2782 . 2 (vol‘∅) = 0
11 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
12 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol
13 nfv 1992 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝑥 ≼ ω
14 nfdisj1 4785 . . . . . . . . . 10 𝑦Disj 𝑦𝑥 𝑦
1513, 14nfan 1977 . . . . . . . . 9 𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)
1612, 15nfan 1977 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
17 nfv 1992 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥 ∈ Fin
1816, 17nfan 1977 . . . . . . 7 𝑦((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin)
19 elpwi 4312 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → 𝑥 ⊆ dom vol)
2019ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
21 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2220, 21sseldd 3745 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
2322ex 449 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ dom vol))
2418, 23ralrimi 3095 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
25 simplrr 820 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
26 uniiun 4725 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
2726fveq2i 6355 . . . . . . 7 (vol‘ 𝑥) = (vol‘ 𝑦𝑥 𝑦)
28 volfiniune 30602 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑦𝑥 𝑦) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
2927, 28syl5eq 2806 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
3011, 24, 25, 29syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
31 bren 8130 . . . . . 6 (ℕ ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
32 nfv 1992 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
33 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(vol‘𝑦)
34 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(vol‘(𝑓𝑛))
35 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
36 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
37 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑓
38 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (vol‘𝑦) = (vol‘(𝑓𝑛)))
39 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol)
40 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
41 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑛))
421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
4339, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑥 ⊆ dom vol)
4443sselda 3744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ dom vol)
4542, 44ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (vol‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
4632, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45esumf1o 30421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
4746adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
4819ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ⊆ dom vol)
49 f1of 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ⟶𝑥)
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
5150ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑥)
5248, 51sseldd 3745 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ dom vol)
5352ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ dom vol)
54 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
55 simplrr 820 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥)
57 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑦 = (𝑓𝑛)) → 𝑦 = (𝑓𝑛))
5856, 57disjrdx 29711 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ↔ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
5958biimpar 503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥Disj 𝑦𝑥 𝑦) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
6054, 55, 59syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
61 voliune 30601 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
6253, 60, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(vol‘(𝑓𝑛)))
63 f1ofo 6305 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥𝑓:ℕ–onto𝑥)
6463, 57iunrdx 29689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑦𝑥 𝑦)
6564, 26syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑥)
6665fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = (vol‘ 𝑥))
6766adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) = (vol‘ 𝑥))
6847, 62, 673eqtr2rd 2801 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
6968ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
7069exlimdv 2010 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥 → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
7170imp 444 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
7231, 71sylan2b 493 . . . . 5 (((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ ℕ ≈ 𝑥) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
73 brdom2 8151 . . . . . . . 8 (𝑥 ≼ ω ↔ (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
7473biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω))
75 isfinite2 8383 . . . . . . . 8 (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
76 ensymb 8169 . . . . . . . . 9 (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥)
77 nnenom 12973 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
78 entr 8173 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ≈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ℕ ≈ 𝑥)
7977, 78mpan 708 . . . . . . . . 9 (ω ≈ 𝑥 → ℕ ≈ 𝑥)
8076, 79sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑥 ≈ ω → ℕ ≈ 𝑥)
8175, 80orim12i 539 . . . . . . 7 ((𝑥 ≺ ω ∨ 𝑥 ≈ ω) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8274, 81syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ≼ ω → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8382ad2antrl 766 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝑥 ∈ Fin ∨ ℕ ≈ 𝑥))
8430, 72, 83mpjaodan 862 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 dom vol ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
8584ex 449 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 dom vol → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))
8685rgen 3060 . 2 𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))
87 ismeas 30571 . . 3 (dom vol ∈ ran sigAlgebra → (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦)))))
884, 87ax-mp 5 . 2 (vol ∈ (measures‘dom vol) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (vol‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom vol((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (vol‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(vol‘𝑦))))
891, 10, 86, 88mpbir3an 1427 1 vol ∈ (measures‘dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588  ∪ ciun 4672  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267  ⟶wf 6045  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230   ≈ cen 8118   ≼ cdom 8119   ≺ csdm 8120  Fincfn 8121  ℝcr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  ℕcn 11212  [,]cicc 12371  vol*covol 23431  volcvol 23432  Σ*cesum 30398  sigAlgebracsiga 30479  measurescmeas 30567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-lmod 19067  df-scaf 19068  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tmd 22077  df-tgp 22078  df-tsms 22131  df-trg 22164  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-ii 22881  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-esum 30399  df-siga 30480  df-meas 30568 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator