Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooicof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooicof 40531
Description: The Lebesgue measure of open intervals is the same as the Lebesgue measure of left-closed right open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
voliooicof.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
voliooicof (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem voliooicof
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volioof 40522 . . . . 5 (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
3 rexpssxrxp 10122 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
5 voliooicof.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
62, 4, 5fcoss 39716 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
7 ffn 6083 . . 3 (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
9 volf 23343 . . . . . 6 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
11 icof 39725 . . . . . . . . . 10 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
1312, 4, 5fcoss 39716 . . . . . . . 8 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
14 ffn 6083 . . . . . . . 8 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ* → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
165adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ))
17 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1816, 17fvovco 39695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))
195ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ))
20 xp1st 7242 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
22 xp2nd 7243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2423rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
25 icombl 23378 . . . . . . . . . 10 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2621, 24, 25syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2718, 26eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2827ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2915, 28jca 553 . . . . . 6 (𝜑 → (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
30 ffnfv 6428 . . . . . 6 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol ↔ (([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol))
3129, 30sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol)
32 fco 6096 . . . . 5 ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶dom vol) → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
3310, 31, 32syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
34 coass 5692 . . . . . 6 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)))
3635feq1d 6068 . . . 4 (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
3733, 36mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
38 ffn 6083 . . 3 (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
3937, 38syl 17 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
4021, 23voliooico 40527 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
415, 4fssd 6095 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
4241adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
4342, 17fvvolioof 40524 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
4442, 17fvvolicof 40526 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
4540, 43, 443eqtr4d 2695 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹)‘𝑥))
468, 39, 45eqfnfvd 6354 1 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  𝒫 cpw 4191   × cxp 5141  dom cdm 5143  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  volcvol 23278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280
This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  41189
  Copyright terms: Public domain W3C validator