Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooico 40712
Description: An open interval and a left-closed, right-open interval with the same real bounds, have the same Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
voliooico.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
voliooico.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
voliooico (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem voliooico
StepHypRef Expression
1 iftrue 4236 . . . . . 6 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
21adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
3 voliooico.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54subidd 10572 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
65eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (𝐵𝐵))
76ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (𝐵𝐵))
8 iffalse 4239 . . . . . . 7 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
98adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
10 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝜑)
11 voliooico.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1514adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
16 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
1712, 13, 15, 16lenlteq 40078 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
18 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1918adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
2010, 17, 19syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
217, 9, 203eqtr4d 2804 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
222, 21pm2.61dan 867 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
2322eqcomd 2766 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2411adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
253adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 volioo 23537 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
2724, 25, 14, 26syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
28 volico 40703 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2911, 3, 28syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3029adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3123, 27, 303eqtr4d 2804 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
32 simpl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝜑)
33 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3432, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
3532, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3634, 35ltnled 10376 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3733, 36mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
383adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3911adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
40 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
4138, 39, 40ltled 10377 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵𝐴)
4239rexrd 10281 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4338rexrd 10281 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 ioo0 12393 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4542, 43, 44syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4641, 45mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
47 ico0 12414 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4842, 43, 47syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4941, 48mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5046, 49eqtr4d 2797 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
5150fveq2d 6356 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5232, 37, 51syl2anc 696 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5331, 52pm2.61dan 867 1 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  c0 4058  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  volcvol 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cmp 21392  df-ovol 23433  df-vol 23434
This theorem is referenced by:  voliooicof  40716  vonn0ioo2  41410
  Copyright terms: Public domain W3C validator