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Theorem volinun 23485
Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
volinun (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem volinun
StepHypRef Expression
1 inundif 4178 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
21fveq2i 6343 . . . 4 (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = (vol‘𝐴)
3 inmbl 23481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
43adantr 472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
5 difmbl 23482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
65adantr 472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
7 indifcom 4003 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))
8 difin0 4173 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = ∅
98ineq2i 3942 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∩ ∅)
10 in0 4099 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
119, 10eqtri 2770 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = ∅
127, 11eqtri 2770 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
14 mblvol 23469 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
16 inss1 3964 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
1716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
18 mblss 23470 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1918ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20 mblvol 23469 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
2120ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
22 simprl 811 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
2321, 22eqeltrrd 2828 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24 ovolsscl 23425 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2517, 19, 23, 24syl3anc 1463 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2615, 25eqeltrd 2827 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
27 mblvol 23469 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
286, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
29 difssd 3869 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
30 ovolsscl 23425 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
3129, 19, 23, 30syl3anc 1463 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
3228, 31eqeltrd 2827 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
33 volun 23484 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
344, 6, 13, 26, 32, 33syl32anc 1471 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
352, 34syl5eqr 2796 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐴) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
3635oveq1d 6816 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = (((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))) + (vol‘𝐵)))
3726recnd 10231 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
3832recnd 10231 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
39 simprr 813 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4039recnd 10231 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘𝐵) ∈ ℂ)
4137, 38, 40addassd 10225 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵))))
42 undif1 4175 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
4342fveq2i 6343 . . . 4 (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = (vol‘(𝐴𝐵))
44 simplr 809 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
45 incom 3936 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴𝐵))
46 disjdif 4172 . . . . . . 7 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4745, 46eqtri 2770 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
4847a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
49 volun 23484 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)))
506, 44, 48, 32, 39, 49syl32anc 1471 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)))
5143, 50syl5reqr 2797 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵)) = (vol‘(𝐴𝐵)))
5251oveq2d 6817 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘(𝐴𝐵)) + ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘𝐵))) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
5336, 41, 523eqtrd 2786 1 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol‘(𝐴𝐵)) + (vol‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  cdif 3700  cun 3701  cin 3702  wss 3703  c0 4046  dom cdm 5254  cfv 6037  (class class class)co 6801  cr 10098   + caddc 10102  vol*covol 23402  volcvol 23403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-ovol 23404  df-vol 23405
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