Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volicorescl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volicorescl 41088
 Description: The Lebesgue measure of a left-closed, right-open interval with real bounds, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
volicorescl (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem volicorescl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 12219 . . . . . . . . 9 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21reseq1i 5424 . . . . . . . 8 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ))
3 ressxr 10121 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
4 resmpt2 6800 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
53, 3, 4mp2an 708 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
62, 5eqtri 2673 . . . . . . 7 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
76rneqi 5384 . . . . . 6 ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
87eleq2i 2722 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
98biimpi 206 . . . 4 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}))
10 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
11 xrex 11867 . . . . . 6 * ∈ V
1211rabex 4845 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ V
1310, 12elrnmpt2 6815 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
149, 13sylib 208 . . 3 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
15 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
163sseli 3632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
183sseli 3632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
20 icoval 12251 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
2117, 19, 20syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
2221eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = (𝑥[,)𝑦))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} = (𝑥[,)𝑦))
2415, 23eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)}) → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦))
2524ex 449 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
2625adantll 750 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
2726reximdva 3046 . . . 4 ((𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
2827reximdva 3046 . . 3 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)} → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)))
2914, 28mpd 15 . 2 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦))
30 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) = (vol‘(𝑥[,)𝑦)))
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘𝐴) = (vol‘(𝑥[,)𝑦)))
32 volicorecl 41081 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑥[,)𝑦)) ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘(𝑥[,)𝑦)) ∈ ℝ)
3431, 33eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
3534ex 449 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)))
3736rexlimdvv 3066 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
3829, 37mpd 15 . . . 4 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
39382a1d 26 . . 3 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)))
4039rexlimdvv 3066 . 2 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥[,)𝑦) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ))
4129, 40mpd 15 1 (𝐴 ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  {crab 2945   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ran crn 5144   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  ℝcr 9973  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  [,)cico 12215  volcvol 23278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator