Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volicoff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volicoff 40684
 Description: ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) expressed in map-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
volicoff.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
Assertion
Ref Expression
volicoff (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem volicoff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 23468 . . . 4 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
3 icof 39879 . . . . . . 7 [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*)
5 ressxr 10246 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
6 xpss1 5272 . . . . . . . 8 (ℝ ⊆ ℝ* → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
9 volicoff.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
104, 8, 9fcoss 39870 . . . . 5 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ*)
1110ffnd 6195 . . . 4 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴)
129adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ × ℝ*))
13 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1412, 13fvovco 39849 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) = ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))
159ffvelrnda 6510 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*))
16 xp1st 7353 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
18 xp2nd 7354 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ (ℝ × ℝ*) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
20 icombl 23503 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2117, 19, 20syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((1st ‘(𝐹𝑥))[,)(2nd ‘(𝐹𝑥))) ∈ dom vol)
2214, 21eqeltrd 2827 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
2322ralrimiva 3092 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol)
24 fnfvrnss 6541 . . . 4 ((([,) ∘ 𝐹) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (([,) ∘ 𝐹)‘𝑥) ∈ dom vol) → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
2511, 23, 24syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ran ([,) ∘ 𝐹) ⊆ dom vol)
26 ffrn 6204 . . . 4 (([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶𝒫 ℝ* → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
2710, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → ([,) ∘ 𝐹):𝐴⟶ran ([,) ∘ 𝐹))
282, 25, 27fcoss 39870 . 2 (𝜑 → (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
29 coass 5803 . . . 4 ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹) = (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹))
3029feq1i 6185 . . 3 (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞))
3130a1i 11 . 2 (𝜑 → (((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞) ↔ (vol ∘ ([,) ∘ 𝐹)):𝐴⟶(0[,]+∞)))
3228, 31mpbird 247 1 (𝜑 → ((vol ∘ [,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127  ∀wral 3038   ⊆ wss 3703  𝒫 cpw 4290   × cxp 5252  dom cdm 5254  ran crn 5255   ∘ ccom 5258   Fn wfn 6032  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  1st c1st 7319  2nd c2nd 7320  ℝcr 10098  0cc0 10099  +∞cpnf 10234  ℝ*cxr 10236  [,)cico 12341  [,]cicc 12342  volcvol 23403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xadd 12111  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-xmet 19912  df-met 19913  df-ovol 23404  df-vol 23405 This theorem is referenced by:  volicofmpt  40686
 Copyright terms: Public domain W3C validator