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Theorem volfiniune 30421
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This theorem is to volfiniun 23361 what voliune 30420 is to voliun 23368. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volfiniune ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem volfiniune
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
2 simpl2 1085 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
3 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
4 r19.26 3093 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
52, 3, 4sylanbrc 699 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6 simpl3 1086 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → Disj 𝑛𝐴 𝐵)
7 volfiniun 23361 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
81, 5, 6, 7syl3anc 1366 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
9 nfcv 2793 . . . 4 𝑛𝐴
109nfel1 2808 . . . . . 6 𝑛 𝐴 ∈ Fin
11 nfra1 2970 . . . . . 6 𝑛𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol
12 nfdisj1 4665 . . . . . 6 𝑛Disj 𝑛𝐴 𝐵
1310, 11, 12nf3an 1871 . . . . 5 𝑛(𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵)
14 nfra1 2970 . . . . 5 𝑛𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ
1513, 14nfan 1868 . . . 4 𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
163r19.21bi 2961 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
17 rspa 2959 . . . . . . . 8 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
18 volf 23343 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
1918ffvelrni 6398 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
212, 20sylan 487 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
22 0xr 10124 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
23 pnfxr 10130 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
24 elicc1 12257 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) ≤ +∞)))
2522, 23, 24mp2an 708 . . . . . . 7 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) ≤ +∞))
2625simp2bi 1097 . . . . . 6 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (vol‘𝐵))
2721, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → 0 ≤ (vol‘𝐵))
28 ltpnf 11992 . . . . . 6 ((vol‘𝐵) ∈ ℝ → (vol‘𝐵) < +∞)
2916, 28syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) < +∞)
30 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
31 elico2 12275 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) < +∞)))
3230, 23, 31mp2an 708 . . . . 5 ((vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (vol‘𝐵) ∧ (vol‘𝐵) < +∞))
3316, 27, 29, 32syl3anbrc 1265 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
349, 15, 1, 33esumpfinvalf 30266 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵) = Σ𝑛𝐴 (vol‘𝐵))
358, 34eqtr4d 2688 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
36 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
37 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘(vol‘𝐵) = +∞
38 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑛vol
39 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵
4038, 39nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑛(vol‘𝑘 / 𝑛𝐵)
4140nfeq1 2807 . . . . . . . . 9 𝑛(vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞
42 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑛𝐵)
4342fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (vol‘𝐵) = (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵))
4443eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((vol‘𝐵) = +∞ ↔ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞))
4537, 41, 44cbvrex 3198 . . . . . . . 8 (∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞ ↔ ∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞)
4636, 45sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞)
4739nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol
4842eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol))
4947, 48rspc 3334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol))
5049impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5150adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
52 finiunmbl 23358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
54 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘
559, 54, 39, 42ssiun2sf 29504 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵)
57 volss 23347 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑛𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘 / 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
5851, 53, 56, 57syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
59583adantl3 1239 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6059adantlr 751 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6160ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∀𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
62 r19.29r 3102 . . . . . . 7 ((∃𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ ∀𝑘𝐴 (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → ∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
6346, 61, 62syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
64 breq1 4688 . . . . . . . 8 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ → ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)))
6564biimpa 500 . . . . . . 7 (((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6665reximi 3040 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 ((vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) = +∞ ∧ (vol‘𝑘 / 𝑛𝐵) ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵)) → ∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
6763, 66syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → ∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
68 rexex 3031 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) → ∃𝑘+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
69 19.9v 1953 . . . . . 6 (∃𝑘+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
7068, 69sylib 208 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
7167, 70syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → +∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵))
72 iccssxr 12294 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7318ffvelrni 6398 . . . . . . . . 9 ( 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
7472, 73sseldi 3634 . . . . . . . 8 ( 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
7552, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
76753adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
7776adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ*)
78 xgepnf 12034 . . . . 5 ((vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞))
7977, 78syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (+∞ ≤ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) ↔ (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞))
8071, 79mpbid 222 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = +∞)
81 nfre1 3034 . . . . 5 𝑛𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞
8213, 81nfan 1868 . . . 4 𝑛((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
83 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → 𝐴 ∈ Fin)
84203ad2antl2 1244 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8584adantlr 751 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) ∧ 𝑛𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
8682, 83, 85, 36esumpinfval 30263 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵) = +∞)
8780, 86eqtr4d 2688 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
88 exmid 430 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
89 rexnal 3024 . . . . . 6 (∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
9089orbi2i 540 . . . . 5 ((∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ¬ ∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
9188, 90mpbir 221 . . . 4 (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
92 r19.29 3101 . . . . . . 7 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
93 xrge0nre 12315 . . . . . . . . 9 (((vol‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘𝐵) = +∞)
9419, 93sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘𝐵) = +∞)
9594reximi 3040 . . . . . . 7 (∃𝑛𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
9692, 95syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)
9796ex 449 . . . . 5 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
9897orim2d 903 . . . 4 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ((∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 ¬ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞)))
9991, 98mpi 20 . . 3 (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
100993ad2ant2 1103 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (∀𝑛𝐴 (vol‘𝐵) ∈ ℝ ∨ ∃𝑛𝐴 (vol‘𝐵) = +∞))
10135, 87, 100mpjaodan 844 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol ∧ Disj 𝑛𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑛𝐴 𝐵) = Σ*𝑛𝐴(vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  csb 3566  wss 3607   ciun 4552  Disj wdisj 4652   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  Σcsu 14460  volcvol 23278  Σ*cesum 30217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-tsms 21977  df-trg 22010  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-ii 22727  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-esum 30218
This theorem is referenced by:  volmeas  30422
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