Theorem volf 23489

Description: The domain and range of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volf	⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem volf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolf 23442	. . . . . 6 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
2		ffun 6201	. . . . . 6 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → Fun vol*)
3		funres 6082	. . . . . 6 ⊢ (Fun vol* → Fun (vol* ↾ dom vol))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Fun (vol* ↾ dom vol)
5		volres 23488	. . . . . 6 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
6	5	funeqi 6062	. . . . 5 ⊢ (Fun vol ↔ Fun (vol* ↾ dom vol))
7	4, 6	mpbir 221	. . . 4 ⊢ Fun vol
8		resss 5572	. . . . . 6 ⊢ (vol* ↾ dom vol) ⊆ vol*
9	5, 8	eqsstri 3768	. . . . 5 ⊢ vol ⊆ vol*
10		fssxp 6213	. . . . . 6 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
12	9, 11	sstri 3745	. . . 4 ⊢ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
13	7, 12	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
14		funssxp 6214	. . 3 ⊢ ((Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ))
15	13, 14	mpbi 220	. 2 ⊢ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ)
16	15	simpli 476	1 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ∧ wa 383   ⊆ wss 3707  𝒫 cpw 4294   × cxp 5256  dom cdm 5258   ↾ cres 5260  Fun wfun 6035  ⟶wf 6037  (class class class)co 6805  ℝcr 10119  0cc0 10120  +∞cpnf 10255  [,]cicc 12363  vol*covol 23423  volcvol 23424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-ovol 23425  df-vol 23426

This theorem is referenced by:  volsup  23516  volsup2  23565  volivth  23567  itg1climres  23672  itg2const2  23699  itg2gt0  23718  areambl  24876  voliune  30593  volfiniune  30594  volmeas  30595  volsupnfl  33759  areacirc  33810  arearect  38295  areaquad  38296  volioof  40699  volicoff  40707  voliooicof  40708  fourierdlem87  40905  voliunsge0lem  41184  volmea  41186  hoidmv1lelem1  41303  hoidmv1lelem2  41304  hoidmv1lelem3  41305  ovolval4lem1  41361  ovolval5lem1  41364