MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmcn 27888
Description: Vector subtraction is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vmcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
vmcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
vmcn.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
vmcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vmcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2770 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2770 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 vmcn.m . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
51, 2, 3, 4nvmfval 27833 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
6 vmcn.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
71, 6imsxmet 27881 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
8 vmcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
98mopntopon 22463 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
107, 9syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
1110, 10cnmpt1st 21691 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
12 eqid 2770 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1312cnfldtopon 22805 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
15 neg1cn 11325 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → -1 ∈ ℂ)
1710, 10, 14, 16cnmpt2c 21693 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ -1) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1810, 10cnmpt2nd 21692 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
196, 8, 3, 12smcn 27887 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2010, 10, 17, 18, 19cnmpt22f 21698 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
216, 8, 2vacn 27883 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2210, 10, 11, 20, 21cnmpt22f 21698 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
235, 22eqeltrd 2849 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  cc 10135  1c1 10138  -cneg 10468  TopOpenctopn 16289  ∞Metcxmt 19945  MetOpencmopn 19950  fldccnfld 19960  TopOnctopon 20934   Cn ccn 21248   ×t ctx 21583  NrmCVeccnv 27773   +𝑣 cpv 27774  BaseSetcba 27775   ·𝑠OLD cns 27776  𝑣 cnsb 27778  IndMetcims 27780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ginv 27683  df-gdiv 27684  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789  df-ims 27790
This theorem is referenced by:  hmopidmchi  29344
  Copyright terms: Public domain W3C validator