MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmasum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmasum 24986
Description: The sum of the von Mangoldt function over the divisors of 𝑛. Equation 9.2.4 of [Shapiro], p. 328 and theorem 2.10 in [ApostolNT] p. 32. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmasum (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem vmasum
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . 3 (𝑛 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝑛) = (Λ‘(𝑝𝑘)))
2 fzfid 12812 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
3 dvdsssfz1 15087 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (1...𝐴))
4 ssfi 8221 . . . 4 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ (1...𝐴)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ∈ Fin)
52, 3, 4syl2anc 694 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ∈ Fin)
6 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℕ
76a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℕ)
8 inss1 3866 . . . 4 ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
9 ssfi 8221 . . . 4 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)) → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
102, 8, 9sylancl 695 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
11 pccl 15601 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
1211ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
1312nn0zd 11518 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
14 fznn 12446 . . . . . . . 8 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
1615anbi2d 740 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))))
17 an12 855 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))))
18 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
20 iddvdsexp 15052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝𝑘))
2119, 20sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∥ (𝑝𝑘))
2218ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
23 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
25 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
2724, 25, 26syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
2827nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
29 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3029ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
31 dvdstr 15065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝𝐴))
3222, 28, 30, 31syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∥ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴) → 𝑝𝐴))
3321, 32mpand 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∥ 𝐴𝑝𝐴))
34 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
35 dvdsle 15079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴𝑝𝐴))
3622, 34, 35syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝐴𝑝𝐴))
3733, 36syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∥ 𝐴𝑝𝐴))
3823ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
39 fznn 12446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝𝐴)))
4039baibd 968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4130, 38, 40syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝 ∈ (1...𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4237, 41sylibrd 249 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∥ 𝐴𝑝 ∈ (1...𝐴)))
4342pm4.71rd 668 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴)))
44 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑝𝑘) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
4544elrab3 3397 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
4627, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
47 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
4825adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49 pcdvdsb 15620 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
5047, 30, 48, 49syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴))
5150anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ∥ 𝐴)))
5243, 46, 513bitr4rd 301 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}))
5352pm5.32da 674 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
5417, 53syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
5516, 54bitrd 268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
5655pm5.32da 674 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}))))
57 elin 3829 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
5857anbi1i 731 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))))
59 anass 682 . . . . 5 (((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
60 an12 855 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
6158, 59, 603bitri 286 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)))))
62 anass 682 . . . 4 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
6356, 61, 623bitr4g 303 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴})))
647sselda 3636 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) → 𝑛 ∈ ℕ)
65 vmacl 24889 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6766recnd 10106 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴}) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
68 simprr 811 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} ∧ (Λ‘𝑛) = 0)) → (Λ‘𝑛) = 0)
691, 5, 7, 10, 63, 67, 68fsumvma 24983 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} (Λ‘𝑛) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝𝑘)))
7057simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
7170ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑝 ∈ ℙ)
72 elfznn 12408 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7372adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
74 vmappw 24887 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) = (log‘𝑝))
7571, 73, 74syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))) → (Λ‘(𝑝𝑘)) = (log‘𝑝))
7675sumeq2dv 14477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝))
77 fzfid 12812 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin)
7870, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
7978adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
8079nnrpd 11908 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
8180relogcld 24414 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
8281recnd 10106 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
83 fsumconst 14566 . . . . 5 (((1...(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ Fin ∧ (log‘𝑝) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((#‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
8477, 82, 83syl2anc 694 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(log‘𝑝) = ((#‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)))
8570, 12sylan2 490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
86 hashfz1 13174 . . . . . 6 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
8785, 86syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (#‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
8887oveq1d 6705 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → ((#‘(1...(𝑝 pCnt 𝐴))) · (log‘𝑝)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
8976, 84, 883eqtrd 2689 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝𝑘)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
9089sumeq2dv 14477 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(𝑝 pCnt 𝐴))(Λ‘(𝑝𝑘)) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
91 pclogsum 24985 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
9269, 90, 913eqtrd 2689 1 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝐴} (Λ‘𝑛) = (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  cexp 12900  #chash 13157  Σcsu 14460  cdvds 15027  cprime 15432   pCnt cpc 15588  logclog 24346  Λcvma 24863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-vma 24869
This theorem is referenced by:  logfac2  24987  dchrvmasumlem1  25229  vmalogdivsum2  25272  logsqvma  25276
  Copyright terms: Public domain W3C validator