Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmadivsumb Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Give a total bound on the von Mangoldt sum. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmadivsumb 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐
Distinct variable group:   𝑛,𝑐,𝑥

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10251 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
2 elicopnf 12482 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
31, 2mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
43simprbda 654 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5 1rp 12049 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
73simplbda 655 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
84, 6, 7rpgecld 12124 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
98ex 449 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
109ssrdv 3750 . . . 4 (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ+)
11 rpssre 12056 . . . 4 + ⊆ ℝ
1210, 11syl6ss 3756 . . 3 (⊤ → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
131a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
14 fzfid 12986 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
15 elfznn 12583 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615adantl 473 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
17 vmacl 25064 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
1918, 16nndivred 11281 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2014, 19fsumrecl 14684 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
218relogcld 24589 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 10670 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
2322recnd 10280 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
24 vmadivsum 25391 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1)
2524a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
2610, 25o1res2 14513 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
27 fzfid 12986 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑦)) ∈ Fin)
28 elfznn 12583 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2928adantl 473 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3029, 17syl 17 . . . . . 6 (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3130, 29nndivred 11281 . . . . 5 (((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
3227, 31fsumrecl 14684 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
33 simprl 811 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
345a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ∈ ℝ+)
35 simprr 813 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ 𝑦)
3633, 34, 35rpgecld 12124 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
3736relogcld 24589 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
3832, 37readdcld 10281 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
3922adantr 472 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
4039recnd 10280 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
4140abscld 14394 . . . 4 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
4220adantr 472 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
438adantr 472 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4443relogcld 24589 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4542, 44readdcld 10281 . . . 4 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
4638ad2ant2r 800 . . . 4 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
4742recnd 10280 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4844recnd 10280 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
4947, 48abs2dif2d 14416 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (abs‘(log‘𝑥))))
5016nnrpd 12083 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
51 vmage0 25067 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
5216, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
5318, 50, 52divge0d 12125 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
5414, 19, 53fsumge0 14746 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
5554adantr 472 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
5642, 55absidd 14380 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
5721adantr 472 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
584adantr 472 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
597adantr 472 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 1 ≤ 𝑥)
6058, 59logge0d 24596 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
6157, 60absidd 14380 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
6256, 61oveq12d 6832 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + (abs‘(log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)))
6349, 62breqtrd 4830 . . . 4 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)))
6432ad2ant2r 800 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
6536ad2ant2r 800 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6665relogcld 24589 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
67 fzfid 12986 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑦)) ∈ Fin)
6828adantl 473 . . . . . . . 8 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6968, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
7069, 68nndivred 11281 . . . . . 6 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
7168nnrpd 12083 . . . . . . 7 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
7268, 51syl 17 . . . . . . 7 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
7369, 71, 72divge0d 12125 . . . . . 6 ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
74 simprll 821 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
75 simprr 813 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 < 𝑦)
7658, 74, 75ltled 10397 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥𝑦)
77 flword2 12828 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑦) → (⌊‘𝑦) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
7858, 74, 76, 77syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (⌊‘𝑦) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
79 fzss2 12594 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑦) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (1...(⌊‘𝑦)))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (1...(⌊‘𝑦)))
8167, 70, 73, 80fsumless 14747 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
8274, 43, 76rpgecld 12124 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8343, 82logled 24593 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑥𝑦 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦)))
8476, 83mpbid 222 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑦))
8542, 44, 64, 66, 81, 84le2addd 10858 . . . 4 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑥)) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)))
8641, 45, 46, 63, 85letrd 10406 . . 3 (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((Λ‘𝑛) / 𝑛) + (log‘𝑦)))
8712, 13, 23, 26, 38, 86o1bddrp 14492 . 2 (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐)
8887trud 1642 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) / 𝑛) − (log‘𝑥))) ≤ 𝑐
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383  ⊤wtru 1633   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  +∞cpnf 10283   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478   / cdiv 10896  ℕcn 11232  ℤ≥cuz 11899  ℝ+crp 12045  [,)cico 12390  ...cfz 12539  ⌊cfl 12805  abscabs 14193  𝑂(1)co1 14436  Σcsu 14635  logclog 24521  Λcvma 25038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-o1 14440  df-lo1 14441  df-sum 14636  df-ef 15017  df-e 15018  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524  df-cht 25043  df-vma 25044  df-chp 25045  df-ppi 25046 This theorem is referenced by:  2vmadivsum  25450
 Copyright terms: Public domain W3C validator