Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem5 23426
 Description: Lemma for vitali 23427. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
vitali.2 𝑆 = ((0[,]1) / )
vitali.3 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
vitali.4 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
vitali.5 (𝜑𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
vitali.6 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹})
vitali.7 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
Assertion
Ref Expression
vitalilem5 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐺   𝜑,𝑛,𝑥,𝑧   𝑧,𝑆   𝑥,𝑇   𝑛,𝐹,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem vitalilem5
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1 10588 . . . 4 0 < 1
2 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 0le1 10589 . . . . . 6 0 ≤ 1
5 ovolicc 23337 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0))
62, 3, 4, 5mp3an 1464 . . . . 5 (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0)
7 1m0e1 11169 . . . . 5 (1 − 0) = 1
86, 7eqtri 2673 . . . 4 (vol*‘(0[,]1)) = 1
91, 8breqtrri 4712 . . 3 0 < (vol*‘(0[,]1))
108, 3eqeltri 2726 . . . 4 (vol*‘(0[,]1)) ∈ ℝ
112, 10ltnlei 10196 . . 3 (0 < (vol*‘(0[,]1)) ↔ ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
129, 11mpbi 220 . 2 ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0
13 vitali.1 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
14 vitali.2 . . . . . 6 𝑆 = ((0[,]1) / )
15 vitali.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
16 vitali.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
17 vitali.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
18 vitali.6 . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹})
19 vitali.7 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
2013, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem2 23423 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ (-1[,]2)))
2120simp2d 1094 . . . 4 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚))
2213vitalilem1 23422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Er (0[,]1)
23 erdm 7797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( Er (0[,]1) → dom = (0[,]1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom = (0[,]1)
25 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
2625, 14syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ))
27 elqsn0 7859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom = (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / )) → 𝑧 ≠ ∅)
2824, 26, 27sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ≠ ∅)
2922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 Er (0[,]1))
3029qsss 7851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((0[,]1) / ) ⊆ 𝒫 (0[,]1))
3114, 30syl5eqss 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 (0[,]1))
3231sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ 𝒫 (0[,]1))
3332elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ⊆ (0[,]1))
3433sseld 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3528, 34embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3635ralimdva 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3716, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1))
38 ffnfv 6428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝑆⟶(0[,]1) ↔ (𝐹 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3915, 37, 38sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑆⟶(0[,]1))
40 frn 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑆⟶(0[,]1) → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
42 unitssre 12357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) ⊆ ℝ
4341, 42syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
44 reex 10065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ∈ V
4544elpw2 4858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4643, 45sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ)
4746anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
48 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol) ↔ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
4947, 48sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
5049ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (¬ ran 𝐹 ∈ dom vol → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol)))
5119, 50mt3d 140 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ dom vol)
5251adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran 𝐹 ∈ dom vol)
53 f1of 6175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)) → 𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
5417, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
55 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℚ
56 qssre 11836 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ⊆ ℝ
5755, 56sstri 3645 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ
58 fss 6094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)) ∧ (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
5954, 57, 58sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
6059ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
61 shftmbl 23352 . . . . . . . . . 10 ((ran 𝐹 ∈ dom vol ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6252, 60, 61syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6362, 18fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇:ℕ⟶dom vol)
6463ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
6564ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
66 iunmbl 23367 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol → 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
6765, 66syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
68 mblss 23345 . . . . 5 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol → 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . 4 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
70 ovolss 23299 . . . 4 (((0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ) → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
7121, 69, 70syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
72 eqid 2651 . . . . . 6 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))))
73 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))
74 mblss 23345 . . . . . . 7 ((𝑇𝑚) ∈ dom vol → (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
7564, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
7613, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem4 23425 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇𝑚)) = 0)
7776, 2syl6eqel 2738 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇𝑚)) ∈ ℝ)
7876mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0))
79 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
80 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
8180xpeq1i 5169 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {0}) = ((ℤ‘1) × {0})
8279, 81eqtr3i 2675 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0) = ((ℤ‘1) × {0})
8378, 82syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = ((ℤ‘1) × {0}))
8483seqeq3d 12849 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) = seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
85 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
86 serclim0 14352 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
8785, 86ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
8884, 87syl6eqbr 4724 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ⇝ 0)
89 seqex 12843 . . . . . . . 8 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ V
90 c0ex 10072 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9189, 90breldm 5361 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ⇝ 0 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
9288, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
9372, 73, 75, 77, 92ovoliun2 23320 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)))
9476sumeq2dv 14477 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)) = Σ𝑚 ∈ ℕ 0)
9580eqimssi 3692 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
9695orci 404 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
97 sumz 14497 . . . . . . 7 ((ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0)
9896, 97ax-mp 5 . . . . . 6 Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0
9994, 98syl6eq 2701 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)) = 0)
10093, 99breqtrd 4711 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0)
101 ovolge0 23295 . . . . 5 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
10269, 101syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
103 ovolcl 23292 . . . . . 6 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ*)
10469, 103syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ*)
105 0xr 10124 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
106 xrletri3 12023 . . . . 5 (((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))))
107104, 105, 106sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))))
108100, 102, 107mpbir2and 977 . . 3 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0)
10971, 108breqtrd 4711 . 2 (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
11012, 109mto 188 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ∪ ciun 4552   class class class wbr 4685  {copab 4745   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   Er wer 7784   / cqs 7786  Fincfn 7997  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℚcq 11826  [,]cicc 12216  seqcseq 12841   ⇝ cli 14259  Σcsu 14460  vol*covol 23277  volcvol 23278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280 This theorem is referenced by:  vitali  23427
 Copyright terms: Public domain W3C validator