MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vieta1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vieta1lem1 24256
Description: Lemma for vieta1 24258. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vieta1.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
vieta1.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
vieta1.3 𝑅 = (𝐹 “ {0})
vieta1.4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
vieta1.5 (𝜑 → (♯‘𝑅) = 𝑁)
vieta1lem.6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
vieta1lem.7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
vieta1lem.8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((𝐷 = (deg‘𝑓) ∧ (♯‘(𝑓 “ {0})) = (deg‘𝑓)) → Σ𝑥 ∈ (𝑓 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑓)‘((deg‘𝑓) − 1)) / ((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)))))
vieta1lem.9 𝑄 = (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
vieta1lem1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐹   𝑧,𝑓,𝑁   𝑥,𝑓,𝑄   𝑅,𝑓   𝑥,𝑧,𝑅   𝐴,𝑓,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑧)   𝑄(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem vieta1lem1
StepHypRef Expression
1 vieta1lem.9 . . 3 𝑄 = (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
2 plyssc 24147 . . . . 5 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3 vieta1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
43adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
52, 4sseldi 3734 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6 vieta1.3 . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝐹 “ {0})
7 cnvimass 5635 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ {0}) ⊆ dom 𝐹
86, 7eqsstri 3768 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ dom 𝐹
9 plyf 24145 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
103, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
11 fdm 6204 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℂ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = ℂ)
138, 12syl5sseq 3786 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ⊆ ℂ)
1413sselda 3736 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑧 ∈ ℂ)
15 eqid 2752 . . . . . . 7 (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))
1615plyremlem 24250 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1714, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1 ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) “ {0}) = {𝑧}))
1817simp1d 1136 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ))
1917simp2d 1137 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 1)
20 ax-1ne0 10189 . . . . . . 7 1 ≠ 0
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ≠ 0)
2219, 21eqnetrd 2991 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0)
23 fveq2 6344 . . . . . . 7 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘0𝑝))
24 dgr0 24209 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
2523, 24syl6eq 2802 . . . . . 6 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝 → (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = 0)
2625necon3i 2956 . . . . 5 ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ≠ 0 → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
2722, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝)
28 quotcl2 24248 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
295, 18, 27, 28syl3anc 1473 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) ∈ (Poly‘ℂ))
301, 29syl5eqel 2835 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ))
31 ax-1cn 10178 . . . 4 1 ∈ ℂ
3231a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 1 ∈ ℂ)
33 vieta1lem.6 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
3433nncnd 11220 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3534adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 ∈ ℂ)
36 dgrcl 24180 . . . . 5 (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3730, 36syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
3837nn0cnd 11537 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝑄) ∈ ℂ)
39 addcom 10406 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
4031, 35, 39sylancr 698 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
41 vieta1lem.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 + 1) = 𝑁)
42 vieta1.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐹)
4341, 42syl6eq 2802 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
4443adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = (deg‘𝐹))
456eleq2i 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}))
46 ffn 6198 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
4710, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
48 fniniseg 6493 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
5045, 49syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑅 ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0)))
5150simplbda 655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐹𝑧) = 0)
5215facth 24252 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) = 0) → 𝐹 = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
534, 14, 51, 52syl3anc 1473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))))
541oveq2i 6816 . . . . . . 7 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · (𝐹 quot (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))))
5553, 54syl6eqr 2804 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄))
5655fveq2d 6348 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘𝐹) = (deg‘((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)))
5733peano2nnd 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
5841, 57eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5958nnne0d 11249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
6042, 59syl5eqner 2999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
61 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
6261, 24syl6eq 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6362necon3i 2956 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
6564adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6655, 65eqnetrrd 2992 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝)
67 plymul0or 24227 . . . . . . . . . . 11 (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ∈ (Poly‘ℂ)) → (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6818, 30, 67syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) = 0𝑝 ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
6968necon3abid 2960 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑅) → (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄) ≠ 0𝑝 ↔ ¬ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝)))
7066, 69mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑅) → ¬ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
71 neanior 3016 . . . . . . . 8 (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝) ↔ ¬ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) = 0𝑝𝑄 = 0𝑝))
7270, 71sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝑅) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝𝑄 ≠ 0𝑝))
7372simprd 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝑄 ≠ 0𝑝)
74 eqid 2752 . . . . . . 7 (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) = (deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})))
75 eqid 2752 . . . . . . 7 (deg‘𝑄) = (deg‘𝑄)
7674, 75dgrmul 24217 . . . . . 6 ((((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ≠ 0𝑝) ∧ (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑄 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7718, 27, 30, 73, 76syl22anc 1474 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑅) → (deg‘((Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧})) ∘𝑓 · 𝑄)) = ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7844, 56, 773eqtrd 2790 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝐷 + 1) = ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)))
7919oveq1d 6820 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑅) → ((deg‘(Xp𝑓 − (ℂ × {𝑧}))) + (deg‘𝑄)) = (1 + (deg‘𝑄)))
8040, 78, 793eqtrd 2790 . . 3 ((𝜑𝑧𝑅) → (1 + 𝐷) = (1 + (deg‘𝑄)))
8132, 35, 38, 80addcanad 10425 . 2 ((𝜑𝑧𝑅) → 𝐷 = (deg‘𝑄))
8230, 81jca 555 1 ((𝜑𝑧𝑅) → (𝑄 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐷 = (deg‘𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  {csn 4313   × cxp 5256  ccnv 5257  dom cdm 5258  cima 5261   Fn wfn 6036  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑓 cof 7052  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  chash 13303  Σcsu 14607  0𝑝c0p 23627  Polycply 24131  Xpcidp 24132  coeffccoe 24133  degcdgr 24134   quot cquot 24236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-0p 23628  df-ply 24135  df-idp 24136  df-coe 24137  df-dgr 24138  df-quot 24237
This theorem is referenced by:  vieta1lem2  24257
  Copyright terms: Public domain W3C validator