MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem3 15748
Description: Lemma for vdwnn 15749. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwnn.2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑅)
vdwnn.3 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
vdwnn.4 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 𝑆 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑘,𝑚,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐,𝑑   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎   𝑘,𝑐,𝐹,𝑑,𝑚   𝑆,𝑎,𝑑,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚)   𝑅(𝑘,𝑚)   𝑆(𝑐)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
2 vdwnn.3 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})}
3 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑘 ∈ ℕ ∣ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})} ⊆ ℕ
42, 3eqsstri 3668 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℕ
5 nnuz 11761 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5sseqtri 3670 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℤ‘1)
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 𝑆 ≠ ∅)
87r19.21bi 2961 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑅) → 𝑆 ≠ ∅)
9 infssuzcl 11810 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
106, 8, 9sylancr 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
114, 10sseldi 3634 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
1211nnred 11073 . . . 4 ((𝜑𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1312ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14 fimaxre3 11008 . . 3 ((𝑅 ∈ Fin ∧ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
151, 13, 14syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑅)
17 1nn 11069 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
18 ffvelrn 6397 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
1916, 17, 18sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑅)
20 ne0i 3954 . . . . . . . 8 ((𝐹‘1) ∈ 𝑅𝑅 ≠ ∅)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ ∅)
23 r19.2z 4093 . . . . . . 7 ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
2423ex 449 . . . . . 6 (𝑅 ≠ ∅ → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
2522, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
26 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ)
27 fllep1 12642 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2912adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3026flcld 12639 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
3130peano2zd 11523 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
3231zred 11520 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
33 letr 10169 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3429, 26, 32, 33syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → ((inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)) → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3528, 34mpan2d 710 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3611adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℕ)
3736nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ)
38 eluz 11739 . . . . . . . . . 10 ((inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
3937, 31, 38syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) ↔ inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1)))
40 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → 𝜑)
4110adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
421, 16, 2vdwnnlem2 15747 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < ))) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4342impancom 455 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4440, 41, 43syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘inf(𝑆, ℝ, < )) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4539, 44sylbird 250 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ ((⌊‘𝑥) + 1) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
4635, 45syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆))
474sseli 3632 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
4847nnnn0d 11389 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
4946, 48syl6 35 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
5049rexlimdva 3060 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0))
511adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
5216adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
53 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
54 vdwnnlem1 15746 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
5655ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
5756adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
5825, 50, 573syld 60 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
59 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (𝑘 − 1) = (((⌊‘𝑥) + 1) − 1))
6059oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1)))
6160raleqdv 3174 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
62612rexbidv 3086 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6362notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘𝑥) + 1) → (¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6463, 2elrab2 3399 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 ↔ (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6564simprbi 479 . . . . . . 7 (((⌊‘𝑥) + 1) ∈ 𝑆 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
6646, 65syl6 35 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐𝑅) → (inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
6766ralimdva 2991 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑐𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
68 ralnex 3021 . . . . 5 (∀𝑐𝑅 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ¬ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
6967, 68syl6ib 241 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥 → ¬ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(((⌊‘𝑥) + 1) − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
7058, 69pm2.65d 187 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
7170nrexdv 3030 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑐𝑅 inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝑥)
7215, 71pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  infcinf 8388  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  cfl 12631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-hash 13158  df-vdwap 15719  df-vdwmc 15720  df-vdwpc 15721
This theorem is referenced by:  vdwnn  15749
  Copyright terms: Public domain W3C validator