MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem3 15910
Description: Lemma for vdw 15921. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem3.a (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑉))
vdwlem3.b (𝜑𝐵 ∈ (1...𝑊))
Assertion
Ref Expression
vdwlem3 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))

Proof of Theorem vdwlem3
StepHypRef Expression
1 vdwlem3.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (1...𝑊))
2 elfznn 12584 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (1...𝑊) → 𝐵 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
4 vdwlem3.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
5 vdwlem3.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑉))
6 elfznn 12584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (1...𝑉) → 𝐴 ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 11547 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
10 vdwlem3.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
11 nn0nnaddcl 11537 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℕ0𝑉 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝑉) ∈ ℕ)
129, 10, 11syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 𝑉) ∈ ℕ)
134, 12nnmulcld 11281 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℕ)
143, 13nnaddcld 11280 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ ℕ)
1514nnred 11248 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ ℝ)
167, 10nnaddcld 11280 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑉) ∈ ℕ)
174, 16nnmulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ∈ ℕ)
1817nnred 11248 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ∈ ℝ)
19 2nn 11398 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
20 nnmulcl 11256 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ ℕ) → (2 · 𝑉) ∈ ℕ)
2119, 10, 20sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑉) ∈ ℕ)
224, 21nnmulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (2 · 𝑉)) ∈ ℕ)
2322nnred 11248 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · (2 · 𝑉)) ∈ ℝ)
24 elfzle2 12559 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (1...𝑊) → 𝐵𝑊)
251, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
26 nnre 11240 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
27 nnre 11240 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℕ → 𝑊 ∈ ℝ)
28 nnre 11240 . . . . . . 7 ((𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℕ → (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℝ)
29 leadd1 10709 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑊 ∈ ℝ ∧ (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℝ) → (𝐵𝑊 ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)))))
3026, 27, 28, 29syl3an 1164 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)) ∈ ℕ) → (𝐵𝑊 ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)))))
313, 4, 13, 30syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑊 ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉)))))
3225, 31mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))))
334nncnd 11249 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
34 1cnd 10269 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3512nncnd 11249 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) + 𝑉) ∈ ℂ)
3633, 34, 35adddid 10277 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 · (1 + ((𝐴 − 1) + 𝑉))) = ((𝑊 · 1) + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))))
379nn0cnd 11566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
3810nncnd 11249 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
3934, 37, 38addassd 10275 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + (𝐴 − 1)) + 𝑉) = (1 + ((𝐴 − 1) + 𝑉)))
40 ax-1cn 10207 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
417nncnd 11249 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
42 pncan3 10502 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 − 1)) = 𝐴)
4340, 41, 42sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + (𝐴 − 1)) = 𝐴)
4443oveq1d 6830 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + (𝐴 − 1)) + 𝑉) = (𝐴 + 𝑉))
4539, 44eqtr3d 2797 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝐴 − 1) + 𝑉)) = (𝐴 + 𝑉))
4645oveq2d 6831 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 · (1 + ((𝐴 − 1) + 𝑉))) = (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)))
4733mulid1d 10270 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 · 1) = 𝑊)
4847oveq1d 6830 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊 · 1) + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) = (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))))
4936, 46, 483eqtr3d 2803 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) = (𝑊 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))))
5032, 49breqtrrd 4833 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)))
517nnred 11248 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5210nnred 11248 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
53 elfzle2 12559 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (1...𝑉) → 𝐴𝑉)
545, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
5551, 52, 52, 54leadd1dd 10854 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑉) ≤ (𝑉 + 𝑉))
56382timesd 11488 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑉) = (𝑉 + 𝑉))
5755, 56breqtrrd 4833 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑉) ≤ (2 · 𝑉))
5816nnred 11248 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑉) ∈ ℝ)
5921nnred 11248 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑉) ∈ ℝ)
604nnred 11248 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
614nngt0d 11277 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝑊)
62 lemul2 11089 . . . . 5 (((𝐴 + 𝑉) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑊 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑊)) → ((𝐴 + 𝑉) ≤ (2 · 𝑉) ↔ (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉))))
6358, 59, 60, 61, 62syl112anc 1481 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑉) ≤ (2 · 𝑉) ↔ (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉))))
6457, 63mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · (𝐴 + 𝑉)) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉)))
6515, 18, 23, 50, 64letrd 10407 . 2 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉)))
66 nnuz 11937 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
6714, 66syl6eleq 2850 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (ℤ‘1))
6822nnzd 11694 . . 3 (𝜑 → (𝑊 · (2 · 𝑉)) ∈ ℤ)
69 elfz5 12548 . . 3 (((𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑊 · (2 · 𝑉)) ∈ ℤ) → ((𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))) ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉))))
7067, 68, 69syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))) ↔ (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ≤ (𝑊 · (2 · 𝑉))))
7165, 70mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐵 + (𝑊 · ((𝐴 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2140   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479  cn 11233  2c2 11283  0cn0 11505  cz 11590  cuz 11900  ...cfz 12540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541
This theorem is referenced by:  vdwlem4  15911  vdwlem6  15913
  Copyright terms: Public domain W3C validator