MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgn0frgrv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgn0frgrv2 27449
Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vdn1frgrv2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vdgn0frgrv2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))

Proof of Theorem vdgn0frgrv2
StepHypRef Expression
1 frgrconngr 27448 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ ConnGraph)
2 frgrusgr 27414 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
3 usgrumgr 26273 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
5 vdn1frgrv2.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
65vdn0conngrumgrv2 27348 . . . 4 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
76ex 449 . . 3 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
81, 4, 7syl2anc 696 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑁𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
98expdimp 452 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  0cc0 10128  1c1 10129   < clt 10266  chash 13311  Vtxcvtx 26073  UMGraphcumgr 26175  USGraphcusgr 26243  VtxDegcvtxdg 26571  ConnGraphcconngr 27338   FriendGraph cfrgr 27410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-xadd 12140  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-s3 13794  df-edg 26139  df-uhgr 26152  df-upgr 26176  df-umgr 26177  df-uspgr 26244  df-usgr 26245  df-vtxdg 26572  df-wlks 26705  df-wlkson 26706  df-trls 26799  df-trlson 26800  df-pths 26822  df-spths 26823  df-pthson 26824  df-spthson 26825  df-conngr 27339  df-frgr 27411
This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  27452  frgrregord013  27563
  Copyright terms: Public domain W3C validator