Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgfrgrgt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgfrgrgt2 27480
 Description: Any vertex in a friendship graph (with more than one vertex - then, actually, the graph must have at least three vertices, because otherwise, it would not be a friendship graph) has at least degree 2, see remark 3 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "It follows that deg(v) >= 2 for every node v of a friendship graph". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) (Revised by AV, 5-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vdn1frgrv2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vdgfrgrgt2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))

Proof of Theorem vdgfrgrgt2
StepHypRef Expression
1 vdn1frgrv2.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21vdgn0frgrv2 27477 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
32imp 393 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
41vdgn1frgrv2 27478 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1))
54imp 393 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1)
61vtxdgelxnn0 26603 . . . . 5 (𝑁𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0*)
7 xnn0n0n1ge2b 12170 . . . . 5 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0* → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑁𝑉 → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
98ad2antlr 706 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
103, 5, 9mpbi2and 691 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁))
1110ex 397 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  0cc0 10138  1c1 10139   < clt 10276   ≤ cle 10277  2c2 11272  ℕ0*cxnn0 11565  ♯chash 13321  Vtxcvtx 26095  VtxDegcvtxdg 26596   FriendGraph cfrgr 27438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-xadd 12152  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-edg 26161  df-uhgr 26174  df-upgr 26198  df-umgr 26199  df-uspgr 26267  df-usgr 26268  df-vtxdg 26597  df-wlks 26730  df-wlkson 26731  df-trls 26824  df-trlson 26825  df-pths 26847  df-spths 26848  df-pthson 26849  df-spthson 26850  df-conngr 27367  df-frgr 27439 This theorem is referenced by:  frgrwopreglem2  27495
 Copyright terms: Public domain W3C validator