Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1bi 26668
 Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u 𝑈𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x 𝑋𝑉
vdegp1bi.xu 𝑋𝑈
vdegp1bi.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1bi ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi
StepHypRef Expression
1 prex 5038 . . 3 {𝑈, 𝑋} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5 wrdf 13506 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
65ffund 6188 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10 vdegp1bi.f . . . . 5 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11 wrdv 13516 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 13684 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1412, 13mpan 670 . . . . 5 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1510, 14syl5eq 2817 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16 fvexd 6346 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17 wrdlndm 13517 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
184, 17mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19 vdegp1ai.u . . . . 5 𝑈𝑉
2019a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈𝑉)
21 vdegp1bi.x . . . . . 6 𝑋𝑉
2219, 21pm3.2i 456 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑋𝑉)
23 prelpwi 5044 . . . . 5 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25 prid1g 4432 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
2619, 25mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
27 vdegp1bi.xu . . . . . . . 8 𝑋𝑈
2827necomi 2997 . . . . . . 7 𝑈𝑋
29 hashprg 13384 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → (𝑈𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
3019, 21, 29mp2an 672 . . . . . . 7 (𝑈𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
3128, 30mpbi 220 . . . . . 6 (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2
3231eqcomi 2780 . . . . 5 2 = (♯‘{𝑈, 𝑋})
33 2re 11296 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3433eqlei 10353 . . . . 5 (2 = (♯‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
3532, 34mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
362, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35p1evtxdp1 26645 . . 3 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
371, 36ax-mp 5 . 2 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
38 fzofi 12981 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin
39 wrddm 13508 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
404, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼))
4140eqcomi 2780 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝐼)) = dom 𝐼
422, 3, 41vtxdgfisnn0 26606 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
4338, 19, 42mp2an 672 . . . 4 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
4443nn0rei 11510 . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
45 1re 10245 . . 3 1 ∈ ℝ
46 rexadd 12268 . . 3 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
4744, 45, 46mp2an 672 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
48 vdegp1ai.d . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
4948oveq1i 6806 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
5037, 47, 493eqtri 2797 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3046  {crab 3065  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ∪ cun 3721  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4298  {csn 4317  {cpr 4319  ⟨cop 4323   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  Fun wfun 6024  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   ≤ cle 10281  2c2 11276  ℕ0cn0 11499   +𝑒 cxad 12149  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  VtxDegcvtxdg 26596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-xadd 12152  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-vtxdg 26597 This theorem is referenced by:  vdegp1ci  26669  konigsberglem1  27432  konigsberglem2  27433
 Copyright terms: Public domain W3C validator