MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vcz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vcz 27771
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vc0.1 𝐺 = (1st𝑊)
vc0.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vc0.3 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4 𝑍 = (GId‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vcz ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem vcz
StepHypRef Expression
1 vc0.1 . . . . . 6 𝐺 = (1st𝑊)
2 vc0.3 . . . . . 6 𝑋 = ran 𝐺
3 vc0.4 . . . . . 6 𝑍 = (GId‘𝐺)
41, 2, 3vczcl 27768 . . . . 5 (𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋)
54anim2i 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ CVecOLD) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍𝑋))
65ancoms 469 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍𝑋))
7 0cn 10232 . . . 4 0 ∈ ℂ
8 vc0.2 . . . . 5 𝑆 = (2nd𝑊)
91, 8, 2vcass 27763 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑍𝑋)) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
107, 9mp3anr2 1568 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑍𝑋)) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
116, 10syldan 489 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)))
12 mul01 10415 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
1312oveq1d 6806 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = (0𝑆𝑍))
141, 8, 2, 3vc0 27770 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋) → (0𝑆𝑍) = 𝑍)
154, 14mpdan 702 . . 3 (𝑊 ∈ CVecOLD → (0𝑆𝑍) = 𝑍)
1613, 15sylan9eqr 2825 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 0)𝑆𝑍) = 𝑍)
1715oveq2d 6807 . . 3 (𝑊 ∈ CVecOLD → (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)) = (𝐴𝑆𝑍))
1817adantr 473 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆(0𝑆𝑍)) = (𝐴𝑆𝑍))
1911, 16, 183eqtr3rd 2812 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  ran crn 5249  cfv 6030  (class class class)co 6791  1st c1st 7311  2nd c2nd 7312  cc 10134  0cc0 10136   · cmul 10141  GIdcgi 27685  CVecOLDcvc 27754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-po 5169  df-so 5170  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-ltxr 10279  df-grpo 27688  df-gid 27689  df-ginv 27690  df-ablo 27740  df-vc 27755
This theorem is referenced by:  nvsz  27834
  Copyright terms: Public domain W3C validator