MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vcm 27762
Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 25-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vcm.1 𝐺 = (1st𝑊)
vcm.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vcm.3 𝑋 = ran 𝐺
vcm.4 𝑀 = (inv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vcm ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))

Proof of Theorem vcm
StepHypRef Expression
1 vcm.1 . . . . 5 𝐺 = (1st𝑊)
21vcgrp 27756 . . . 4 (𝑊 ∈ CVecOLD𝐺 ∈ GrpOp)
32adantr 472 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐺 ∈ GrpOp)
4 neg1cn 11337 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 vcm.2 . . . . 5 𝑆 = (2nd𝑊)
6 vcm.3 . . . . 5 𝑋 = ran 𝐺
71, 5, 6vccl 27749 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
84, 7mp3an2 1561 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9 eqid 2761 . . . 4 (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
106, 9grporid 27702 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)) = (-1𝑆𝐴))
113, 8, 10syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)) = (-1𝑆𝐴))
12 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
13 vcm.4 . . . . . . . 8 𝑀 = (inv‘𝐺)
146, 13grpoinvcl 27709 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ 𝑋)
152, 14sylan 489 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ 𝑋)
166grpoass 27688 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋 ∧ (𝑀𝐴) ∈ 𝑋)) → (((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝐺(𝑀𝐴)) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(𝐴𝐺(𝑀𝐴))))
173, 8, 12, 15, 16syl13anc 1479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝐺(𝑀𝐴)) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(𝐴𝐺(𝑀𝐴))))
181, 5, 6vcidOLD 27750 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
1918oveq2d 6831 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴))
20 ax-1cn 10207 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
21 1pneg1e0 11342 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
2220, 4, 21addcomli 10441 . . . . . . . . 9 (-1 + 1) = 0
2322oveq1i 6825 . . . . . . . 8 ((-1 + 1)𝑆𝐴) = (0𝑆𝐴)
241, 5, 6vcdir 27752 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((-1 + 1)𝑆𝐴) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
254, 24mp3anr1 1570 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((-1 + 1)𝑆𝐴) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
2620, 25mpanr1 721 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1 + 1)𝑆𝐴) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
271, 5, 6, 9vc0 27760 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = (GId‘𝐺))
2823, 26, 273eqtr3a 2819 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (GId‘𝐺))
2919, 28eqtr3d 2797 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (GId‘𝐺))
3029oveq1d 6830 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)𝐺(𝑀𝐴)) = ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)))
3117, 30eqtr3d 2797 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(𝐴𝐺(𝑀𝐴))) = ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)))
326, 9, 13grporinv 27712 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(𝑀𝐴)) = (GId‘𝐺))
332, 32sylan 489 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(𝑀𝐴)) = (GId‘𝐺))
3433oveq2d 6831 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(𝐴𝐺(𝑀𝐴))) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)))
3531, 34eqtr3d 2797 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)) = ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)))
366, 9grpolid 27701 . . . 4 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑀𝐴) ∈ 𝑋) → ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)) = (𝑀𝐴))
373, 15, 36syl2anc 696 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((GId‘𝐺)𝐺(𝑀𝐴)) = (𝑀𝐴))
3835, 37eqtr3d 2797 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺(GId‘𝐺)) = (𝑀𝐴))
3911, 38eqtr3d 2797 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  ran crn 5268  cfv 6050  (class class class)co 6815  1st c1st 7333  2nd c2nd 7334  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  -cneg 10480  GrpOpcgr 27674  GIdcgi 27675  invcgn 27676  CVecOLDcvc 27744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-sub 10481  df-neg 10482  df-grpo 27678  df-gid 27679  df-ginv 27680  df-ablo 27730  df-vc 27745
This theorem is referenced by:  nvinv  27825
  Copyright terms: Public domain W3C validator