MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vc0 27760
Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vc0.1 𝐺 = (1st𝑊)
vc0.2 𝑆 = (2nd𝑊)
vc0.3 𝑋 = ran 𝐺
vc0.4 𝑍 = (GId‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vc0 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem vc0
StepHypRef Expression
1 vc0.1 . . . 4 𝐺 = (1st𝑊)
2 vc0.3 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
3 vc0.4 . . . 4 𝑍 = (GId‘𝐺)
41, 2, 3vc0rid 27759 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
5 1p0e1 11346 . . . . 5 (1 + 0) = 1
65oveq1i 6825 . . . 4 ((1 + 0)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
7 0cn 10245 . . . . 5 0 ∈ ℂ
8 ax-1cn 10207 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
9 vc0.2 . . . . . . 7 𝑆 = (2nd𝑊)
101, 9, 2vcdir 27752 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
118, 10mp3anr1 1570 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
127, 11mpanr1 721 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1 + 0)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)))
131, 9, 2vcidOLD 27750 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
146, 12, 133eqtr3a 2819 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = 𝐴)
1513oveq1d 6830 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((1𝑆𝐴)𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)))
164, 14, 153eqtr2rd 2802 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍))
171, 9, 2vccl 27749 . . . . 5 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
187, 17mp3an2 1561 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
191, 2, 3vczcl 27758 . . . . 5 (𝑊 ∈ CVecOLD𝑍𝑋)
2019adantr 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
21 simpr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
2218, 20, 213jca 1123 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋))
231, 2vclcan 27757 . . 3 ((𝑊 ∈ CVecOLD ∧ ((0𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝑍𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2422, 23syldan 488 . 2 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → ((𝐴𝐺(0𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝑍) ↔ (0𝑆𝐴) = 𝑍))
2516, 24mpbid 222 1 ((𝑊 ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  ran crn 5268  cfv 6050  (class class class)co 6815  1st c1st 7333  2nd c2nd 7334  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  GIdcgi 27675  CVecOLDcvc 27744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-grpo 27678  df-gid 27679  df-ginv 27680  df-ablo 27730  df-vc 27745
This theorem is referenced by:  vcz  27761  vcm  27762  nv0  27823
  Copyright terms: Public domain W3C validator