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Theorem uzwo4 39535
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzwo4.1 𝑗𝜓
uzwo4.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
uzwo4 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem uzwo4
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3720 . . . . . 6 {𝑗𝑆𝜑} ⊆ 𝑆
21a1i 11 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → {𝑗𝑆𝜑} ⊆ 𝑆)
3 id 22 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
42, 3sstrd 3646 . . . 4 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → {𝑗𝑆𝜑} ⊆ (ℤ𝑀))
54adantr 480 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → {𝑗𝑆𝜑} ⊆ (ℤ𝑀))
6 rabn0 3991 . . . . . 6 ({𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑗𝑆 𝜑)
76bicomi 214 . . . . 5 (∃𝑗𝑆 𝜑 ↔ {𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅)
87biimpi 206 . . . 4 (∃𝑗𝑆 𝜑 → {𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅)
98adantl 481 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → {𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅)
10 uzwo 11789 . . 3 (({𝑗𝑆𝜑} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
115, 9, 10syl2anc 694 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → ∃𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
121sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} → 𝑖𝑆)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → 𝑖𝑆)
14133adant1 1099 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → 𝑖𝑆)
15 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑖
16 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑆
1715nfsbc1 3487 . . . . . . . . . . . 12 𝑗[𝑖 / 𝑗]𝜑
18 sbceq1a 3479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → (𝜑[𝑖 / 𝑗]𝜑))
1915, 16, 17, 18elrabf 3392 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ↔ (𝑖𝑆[𝑖 / 𝑗]𝜑))
2019biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} → (𝑖𝑆[𝑖 / 𝑗]𝜑))
2120simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
23223adant1 1099 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
24 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑆 ⊆ (ℤ𝑀)
25 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}
26 nfra1 2970 . . . . . . . . 9 𝑘𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘
2724, 25, 26nf3an 1871 . . . . . . . 8 𝑘(𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
28 simpl13 1158 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
29 simpl2 1085 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑘𝑆)
30 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝜓)
31 simpll 805 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘𝑘𝑆) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑆𝜓) → (𝑘𝑆𝜓))
33 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑘
34 uzwo4.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝜓
35 uzwo4.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜓))
3633, 16, 34, 35elrabf 3392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ↔ (𝑘𝑆𝜓))
3732, 36sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑆𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑})
3837adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘𝑘𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑})
39 rspa 2959 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}) → 𝑖𝑘)
4031, 38, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘𝑘𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑖𝑘)
4128, 29, 30, 40syl21anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑖𝑘)
424sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
43 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}) → 𝑖 ∈ ℤ)
4544zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}) → 𝑖 ∈ ℝ)
46453adant3 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → 𝑖 ∈ ℝ)
47463ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
48 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
49 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℤ)
5150zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
52513ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
53523adant3 1101 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
54 simp3 1083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
55 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
56 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
57 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
5856, 57ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → (𝑘 < 𝑖 ↔ ¬ 𝑖𝑘))
5955, 58mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖𝑘)
6047, 53, 54, 59syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖𝑘)
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑖𝑘)
6241, 61pm2.65da 599 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝜓)
63623exp 1283 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → (𝑘𝑆 → (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
6427, 63ralrimi 2986 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
6523, 64jca 553 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
66 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑘 < 𝑖
6734nfn 1824 . . . . . . . . . 10 𝑗 ¬ 𝜓
6866, 67nfim 1865 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
6916, 68nfral 2974 . . . . . . . 8 𝑗𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
7017, 69nfan 1868 . . . . . . 7 𝑗([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
71 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑘 < 𝑗𝑘 < 𝑖))
7271imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
7372ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
7418, 73anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)) ↔ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))))
7570, 74rspce 3335 . . . . . 6 ((𝑖𝑆 ∧ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))) → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
7614, 65, 75syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
77763exp 1283 . . . 4 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} → (∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘 → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))))
7877rexlimdv 3059 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (∃𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘 → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
7978adantr 480 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → (∃𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘 → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
8011, 79mpd 15 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  [wsbc 3468  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  cr 9973   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  iundjiun  40995
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