Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzublem 40151
Description: A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzublem.1 𝑗𝜑
uzublem.2 𝑗𝑋
uzublem.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzublem.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzublem.5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
uzublem.6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < )
uzublem.7 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
uzublem.8 (𝜑𝐾𝑍)
uzublem.9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
uzublem.10 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
Assertion
Ref Expression
uzublem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑍   𝑥,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑥,𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem uzublem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzublem.7 . . 3 𝑋 = if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊)
2 uzublem.5 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 uzublem.6 . . . . . 6 𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < )
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑊 = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
5 uzublem.1 . . . . . 6 𝑗𝜑
6 ltso 10306 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 fzfid 12962 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
9 uzublem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 uzublem.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑍)
11 uzublem.4 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
1211eluzelz2 40121 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑍𝐾 ∈ ℤ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
149zred 11670 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1514leidd 10782 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑀)
1610, 11syl6eleq 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
17 eluzle 11888 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝐾)
199, 13, 9, 15, 18elfzd 40130 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝐾))
2019ne0d 39803 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝐾) ≠ ∅)
21 fzssuz 12571 . . . . . . . . 9 (𝑀...𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)
2211eqcomi 2765 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = 𝑍
2321, 22sseqtri 3774 . . . . . . . 8 (𝑀...𝐾) ⊆ 𝑍
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾))
2523, 24sseldi 3738 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑗𝑍)
26 uzublem.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2725, 26sylan2 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐵 ∈ ℝ)
285, 7, 8, 20, 27fisupclrnmpt 40116 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
294, 28eqeltrd 2835 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
302, 29ifcld 4271 . . 3 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
311, 30syl5eqel 2839 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3226adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵 ∈ ℝ)
332ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌 ∈ ℝ)
3431ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑋 ∈ ℝ)
35 uzublem.10 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
3635ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌)
37 eqid 2756 . . . . . . . 8 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
3813ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾 ∈ ℤ)
3911eluzelz2 40121 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
4039ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
41 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐾𝑗)
4237, 38, 40, 41eluzd 40129 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
43 rspa 3064 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝐵𝑌𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐵𝑌)
4436, 42, 43syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑌)
45 max2 12207 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
4629, 2, 45syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
4746, 1syl6breqr 4842 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
4847ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝑌𝑋)
4932, 33, 34, 44, 48letrd 10382 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑋)
50 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → ¬ 𝐾𝑗)
51 uzssre 40114 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5211, 51eqsstri 3772 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℝ
5352sseli 3736 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℝ)
5453ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
5552, 10sseldi 3738 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
5655ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝐾 ∈ ℝ)
5754, 56ltnled 10372 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → (𝑗 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑗))
5850, 57mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝑗 < 𝐾)
5926adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ∈ ℝ)
603, 29syl5eqelr 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
613, 60syl5eqel 2839 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
6261ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑊 ∈ ℝ)
632, 61ifcld 4271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
641, 63syl5eqel 2839 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6564ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑋 ∈ ℝ)
66 simpll 807 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝜑)
679ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
6813ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6911eleq2i 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7069biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7170ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
72 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 < 𝐾)
7371, 68, 72elfzod 40118 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾))
74 elfzouz 12664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
7574, 22syl6eleq 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀..^𝐾) → 𝑗𝑍)
7673, 75, 393syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
77 eluzle 11888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
7870, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑀𝑗)
7978ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑀𝑗)
8073, 75, 533syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ ℝ)
8155ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
8280, 81, 72ltled 10373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗𝐾)
8367, 68, 76, 79, 82elfzd 40130 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝐾))
845, 27ralrimia 39810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ∈ ℝ)
85 fimaxre3 11158 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀...𝐾) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵𝑦)
868, 84, 85syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)𝐵𝑦)
875, 27, 86suprubrnmpt 39963 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
8866, 83, 87syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝐾) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
8988, 3syl6breqr 4842 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵𝑊)
90 max1 12205 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9129, 2, 90syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ≤ if(𝑊𝑌, 𝑌, 𝑊))
9291, 1syl6breqr 4842 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝑋)
9392ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝑊𝑋)
9459, 62, 65, 89, 93letrd 10382 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑗 < 𝐾) → 𝐵𝑋)
9558, 94syldan 488 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ¬ 𝐾𝑗) → 𝐵𝑋)
9649, 95pm2.61dan 867 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵𝑋)
9796ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍𝐵𝑋))
985, 97ralrimi 3091 . 2 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋)
99 nfv 1988 . . 3 𝑥𝑗𝑍 𝐵𝑋
100 nfcv 2898 . . . . 5 𝑗𝑥
101 uzublem.2 . . . . 5 𝑗𝑋
102100, 101nfeq 2910 . . . 4 𝑗 𝑥 = 𝑋
103 breq2 4804 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥𝐵𝑋))
104102, 103ralbid 3117 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋))
10599, 104rspce 3440 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
10631, 98, 105syl2anc 696 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wnf 1853  wcel 2135  wnfc 2885  wral 3046  wrex 3047  ifcif 4226   class class class wbr 4800  cmpt 4877   Or wor 5182  ran crn 5263  cfv 6045  (class class class)co 6809  Fincfn 8117  supcsup 8507  cr 10123   < clt 10262  cle 10263  cz 11565  cuz 11875  ...cfz 12515  ..^cfzo 12655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656
This theorem is referenced by:  uzub  40152
  Copyright terms: Public domain W3C validator