Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzub 39971
Description: A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzub.1 𝑗𝜑
uzub.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzub.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzub.12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
uzub (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem uzub
Dummy variables 𝑖 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑖))
21raleqdv 3174 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥))
32cbvrexv 3202 . . . . . 6 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥)
43a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥))
5 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵𝑥𝐵𝑤))
65ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
76rexbidv 3081 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
84, 7bitrd 268 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
98cbvrexv 3202 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
11 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝐵𝑤𝐵𝑦))
1211ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
1312rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
1413cbvrexv 3202 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
1514biimpi 206 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
16 uzub.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝜑
17 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
1816, 17nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
19 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑖𝑍
2018, 19nfan 1868 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍)
21 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦
2220, 21nfan 1868 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
23 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗(𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵)
2423nfrn 5400 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵)
25 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗
26 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 <
2724, 25, 26nfsup 8398 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )
28 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗
29 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑦
3027, 28, 29nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ 𝑦
3130, 29, 27nfif 4148 . . . . . . . . . . . 12 𝑗if(sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
32 uzub.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3332ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → 𝑀 ∈ ℤ)
34 uzub.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
35 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )
37 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 if(sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) = if(sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
38 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → 𝑖𝑍)
39 uzub.12 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039ad5ant15 1336 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
41 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
4222, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41uzublem 39970 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤)
4342ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
4443rexlimdva 3060 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
4544imp 444 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤)
4645ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
4746rexlimdva 3060 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
4847imp 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤)
4915, 48sylan2 490 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤)
5049ex 449 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
5132, 34uzidd2 39956 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝑍)
5251ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤) → 𝑀𝑍)
5334raleqi 3172 . . . . . . . 8 (∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤)
5453biimpi 206 . . . . . . 7 (∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤)
5554adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤)
56 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑖𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤
57 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑀))
5857raleqdv 3174 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤))
5956, 58rspce 3335 . . . . . 6 ((𝑀𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤) → ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤)
6052, 55, 59syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤) → ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤)
6160ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 → ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
6261reximdva 3046 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
6350, 62impbid 202 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
64 breq2 4689 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝐵𝑤𝐵𝑥))
6564ralbidv 3015 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
6665cbvrexv 3202 . . 3 (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
6766a1i 11 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
6810, 63, 673bitrd 294 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cr 9973   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  limsupreuz  40287
  Copyright terms: Public domain W3C validator