Theorem uztrn2 11743

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2722	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 11742	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 468	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 488	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	syl6eleqr 2741	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  ℤ_≥cuz 11725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726

This theorem is referenced by:  eluznn0  11795  eluznn  11796  elfzuz2  12384  rexuz3  14132  r19.29uz  14134  r19.2uz  14135  clim2  14279  clim2c  14280  clim0c  14282  rlimclim1  14320  2clim  14347  climabs0  14360  climcn1  14366  climcn2  14367  climsqz  14415  climsqz2  14416  clim2ser  14429  clim2ser2  14430  climub  14436  climsup  14444  caurcvg2  14452  serf0  14455  iseraltlem1  14456  iseralt  14459  cvgcmp  14592  cvgcmpce  14594  isumsup2  14622  mertenslem1  14660  clim2div  14665  ntrivcvgfvn0  14675  ntrivcvgmullem  14677  fprodeq0  14749  lmbrf  21112  lmss  21150  lmres  21152  txlm  21499  uzrest  21748  lmmcvg  23105  lmmbrf  23106  iscau4  23123  iscauf  23124  caucfil  23127  iscmet3lem3  23134  iscmet3lem1  23135  lmle  23145  lmclim  23147  mbflimsup  23478  ulm2  24184  ulmcaulem  24193  ulmcau  24194  ulmss  24196  ulmdvlem1  24199  ulmdvlem3  24201  mtest  24203  itgulm  24207  logfaclbnd  24992  bposlem6  25059  caures  33686  caushft  33687  dvgrat  38828  cvgdvgrat  38829  climinf  40156  clim2f  40186  clim2cf  40200  clim0cf  40204  clim2f2  40220  fnlimfvre  40224  allbutfifvre  40225  limsupvaluz2  40288  limsupreuzmpt  40289  supcnvlimsup  40290  climuzlem  40293  climisp  40296  climrescn  40298  climxrrelem  40299  climxrre  40300  limsupgtlem  40327  liminfreuzlem  40352  liminfltlem  40354  liminflimsupclim  40357  xlimmnfvlem2  40377  xlimmnfv  40378  xlimpnfvlem2  40381  xlimpnfv  40382  xlimmnfmpt  40387  xlimpnfmpt  40388  climxlim2lem  40389  meaiuninc3v  41019  smflimlem1  41300  smflimlem2  41301  smflimlem3  41302  smflimmpt  41337  smflimsuplem4  41350  smflimsuplem7  41353  smflimsupmpt  41356  smfliminfmpt  41359