MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsup 12777
Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzsup (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 flcl 12711 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
32peano2zd 11598 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5 ifcl 4238 . . . . . . 7 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2anr 496 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7 zre 11494 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8 reflcl 12712 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9 peano2re 10322 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11 max1 12130 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
127, 10, 11syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13 eluz2 11806 . . . . . 6 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
141, 6, 12, 13syl3anbrc 1383 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
15 uzsup.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
1614, 15syl6eleqr 2814 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17 simpr 479 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1810adantl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
196zred 11595 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20 fllep1 12717 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2120adantl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22 max2 12132 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
237, 10, 22syl2an 495 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
2417, 18, 19, 21, 23letrd 10307 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25 breq2 4764 . . . . 5 (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥𝑛𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
2625rspcev 3413 . . . 4 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
2716, 24, 26syl2anc 696 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
2827ralrimiva 3068 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
29 uzssz 11820 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
3015, 29eqsstri 3741 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
31 zssre 11497 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
3230, 31sstri 3718 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
33 ressxr 10196 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3718 . . 3 𝑍 ⊆ ℝ*
35 supxrunb1 12263 . . 3 (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
3634, 35ax-mp 5 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
3728, 36sylib 208 1 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  wss 3680  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  supcsup 8462  cr 10048  1c1 10050   + caddc 10052  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cz 11490  cuz 11800  cfl 12706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fl 12708
This theorem is referenced by:  climrecl  14434  climge0  14435  caurcvg  14527  caucvg  14529  mbflimsup  23553  limsupvaluz  40360  ioodvbdlimc1lem2  40567  ioodvbdlimc2lem  40569
  Copyright terms: Public domain W3C validator