MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsinds 12980
Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsinds.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
uzsinds.2 (𝑥 = 𝑁 → (𝜑𝜒))
uzsinds.3 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑦 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
uzsinds (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem uzsinds
StepHypRef Expression
1 ltweuz 12954 . 2 < We (ℤ𝑀)
2 fvex 6362 . . 3 (ℤ𝑀) ∈ V
3 exse 5230 . . 3 ((ℤ𝑀) ∈ V → < Se (ℤ𝑀))
42, 3ax-mp 5 . 2 < Se (ℤ𝑀)
5 uzsinds.1 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
6 uzsinds.2 . 2 (𝑥 = 𝑁 → (𝜑𝜒))
7 preduz 12655 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → Pred( < , (ℤ𝑀), 𝑥) = (𝑀...(𝑥 − 1)))
87raleqdv 3283 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑦 ∈ Pred ( < , (ℤ𝑀), 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))𝜓))
9 uzsinds.3 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑦 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))𝜓𝜑))
108, 9sylbid 230 . 2 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑦 ∈ Pred ( < , (ℤ𝑀), 𝑥)𝜓𝜑))
111, 4, 5, 6, 10wfis3 5882 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340   Se wse 5223  Predcpred 5840  cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   < clt 10266  cmin 10458  cuz 11879  ...cfz 12519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520
This theorem is referenced by:  nnsinds  12981  nn0sinds  12982
  Copyright terms: Public domain W3C validator